Dê as equações reduzidas das esferas inscrita e circunscrita no elipsoide x^21+y^24+z^29=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as equações das esferas inscrita e circunscrita em um elipsoide dado pela equação .
Matéria envolvida: Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com elipsoides e esferas. Para resolver isso, vamos precisar entender as características básicas das esferas e elipsoides, como seus centros e raios.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os semi-eixos do elipsoide. A equação geral de um elipsoide é:
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 = 1
Comparando com o nosso elipsoide , percebemos que:
  • (já que )
  • (já que )
Esses valores representam os comprimentos dos semi-eixos do elipsoide ao longo dos eixos , e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos entender o que são as esferas inscrita e circunscrita:
  • Esfera Inscrita: É a esfera que cabe totalmente dentro do elipsoide, tocando-o nas regiões mais estreitas. O raio dessa esfera é igual ao menor dos semi-eixos do elipsoide.
  • Esfera Circunscrita: É a esfera que envolve todo o elipsoide, tocando-o nas regiões mais largas. O raio dessa esfera é igual ao maior dos semi-eixos do elipsoide.

Passo 4

Identificando os maiores e menores semi-eixos do nosso elipsoide:
  • Menor semi-eixo:
  • Maior semi-eixo:
Portanto:
  • O raio da esfera inscrita será .
  • O raio da esfera circunscrita será .

Passo 5

Como ambas as esferas estão centralizadas no mesmo ponto que o elipsoide (a origem, x^2 + y^2 + z^2 = r^2 ), podemos escrever suas equações usando a fórmula geral da esfera:
onde é o raio da esfera.

Passo 6

Aplicando os valores dos raios:
  • Esfera Inscrita:
x^2 + y^2 + z^2 = 1^2 implies x^2 + y^2 + z^2 = 1
  • Esfera Circunscrita:
x^2 + y^2 + z^2 = 3^2 implies x^2 + y^2 + z^2 = 9

Resposta

As equações das esferas são:
Esfera Inscrita: x^2 + y^2 + z^2 = 1
Esfera Circunscrita: x^2 + y^2 + z^2 = 9

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