Dê as equações reduzidas das esferas inscrita e circunscrita no elipsoide
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as equações das esferas inscrita e circunscrita em um elipsoide dado pela equação
.
Matéria envolvida: Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com elipsoides e esferas. Para resolver isso, vamos precisar entender as características básicas das esferas e elipsoides, como seus centros e raios.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os semi-eixos do elipsoide. A equação geral de um elipsoide é:
Comparando com o nosso elipsoide
, percebemos que:
-
-
(já que ) -
(já que )
Esses valores representam os comprimentos dos semi-eixos do elipsoide ao longo dos eixos
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos entender o que são as esferas inscrita e circunscrita:
-
Esfera Inscrita: É a esfera que cabe totalmente dentro do elipsoide, tocando-o nas regiões mais estreitas. O raio dessa esfera é igual ao menor dos semi-eixos do elipsoide.
-
Esfera Circunscrita: É a esfera que envolve todo o elipsoide, tocando-o nas regiões mais largas. O raio dessa esfera é igual ao maior dos semi-eixos do elipsoide.
Passo 4
Identificando os maiores e menores semi-eixos do nosso elipsoide:
- Menor semi-eixo:
- Maior semi-eixo:
Portanto:
- O raio da esfera inscrita será
. - O raio da esfera circunscrita será
.
Passo 5
Como ambas as esferas estão centralizadas no mesmo ponto que o elipsoide (a origem,
), podemos escrever suas equações usando a fórmula geral da esfera:
onde
é o raio da esfera.
Passo 6
Aplicando os valores dos raios:
- Esfera Inscrita:
- Esfera Circunscrita:
Resposta
As equações das esferas são: