Obtenha uma equação para a reta tangente à curva y=tg x-1sec x, no ponto em que x=0.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
y = tan x - 1sec x
no ponto em que x=0.
Para isso precisamos
  1. simplificar a expressão de y,
  2. calcular a derivada y',
  3. avaliar y e y' em x=0,
  4. usar a fórmula da reta tangente y - y0 = m(x - x0).

Passo 2

Vamos simplificar
y = tan x - 1sec x
Como tan x = sin xcos x e sec x = 1cos x, temos
tan xsec x = sin x, 1sec x = cos x
Logo
y = sin x - cos x

Passo 3

Agora calculamos a derivada de y=sin x - cos x.
Pela regra básica de derivação,
ddx[sin x] = cos x, ddx[-cos x] = +sin x
Portanto
y' = cos x + sin x

Passo 4

Avaliamos y e y' em x=0:
y(0) = sin(0) - cos(0) = 0 - 1 = -1,
y'(0) = cos(0) + sin(0) = 1 + 0 = 1
Então o ponto de tangência é (0, -1) e a inclinação da reta é m=1.

Passo 5

A equação da reta tangente em (x0,y0)=(0,-1) com coeficiente angular m=1 é
y - (-1) = 1,(x - 0),
ou seja

Resposta

y = x - 1

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