É verdade ou falso que : "se
para
, então
para
" ? Caso seja verdade, justifique, e, caso seja falso, apresente um contraexemplo.
Falso.
Contra-exemplo: tome
; temos
para
, contudo as funções são diferentes nesse (e em qualquer) intervalo.
Contra-exemplo: tome
Passo 1
O enunciado pergunta se, dadas duas funções
e
diferenciáveis em
tais que
para todo
em
, devemos ter
em
. O conteúdo aqui é a propriedade de que uma função cuja derivada é zero é constante.
Passo 2
Defina a função
. Como
em todo
, concluímos que
é constante nesse intervalo. Ou seja, existem uma constante
tal que
para todo
.
Passo 3
Como a constante
pode ser diferente de zero, não é forçoso que
e
coincidam. Um contraexemplo simples é
Ambas têm derivada zero em
, então
, mas
.
Resposta
Falso. Por exemplo,
e
satisfazem
em
, porém
e
são diferentes.