É verdade ou falso que : "se f^prime(x)=g^prime(x) para -1<x<1, então f(x)=g(x) para -1<x<1 " ? Caso seja verdade, justifique, e, caso seja falso, apresente um contraexemplo.
Falso.
Contra-exemplo: tome f(x)=1, g(x)=2; temos f^prime(x)=0=g^prime(x) para -1<x<1, contudo as funções são diferentes nesse (e em qualquer) intervalo.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas duas funções f e g diferenciáveis em (-1,1) tais que f'(x)=g'(x) para todo x em (-1,1), devemos ter f(x)=g(x) em (-1,1). O conteúdo aqui é a propriedade de que uma função cuja derivada é zero é constante.

Passo 2

Defina a função h(x)=f(x)-g(x). Como
h'(x)=f'(x)-g'(x)=0
em todo (-1,1), concluímos que h é constante nesse intervalo. Ou seja, existem uma constante C tal que
f(x)-g(x)=C
para todo xin(-1,1).

Passo 3

Como a constante C pode ser diferente de zero, não é forçoso que f e g coincidam. Um contraexemplo simples é
f(x)=1, g(x)=2
Ambas têm derivada zero em (-1,1), então f'(x)=0=g'(x), mas f(x)neq g(x).

Resposta

Falso. Por exemplo, f(x)=1 e g(x)=2 satisfazem f'(x)=g'(x)=0 em (-1,1), porém f e g são diferentes.

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