Seja f:[0, infty) longrightarrow R em que f e |f| são funções integráveis. Defina:
a) A transformada cosseno de Fourier
FCf(t)=integral0^infty f(t) cos (w t) d t
b) A transformada seno de Fourier
FSf(t)=integral0^infty f(t) sin (w t) d t
Dada a função f(t)=t, t >= 0, determine Fcf(t) e FSf(t).

Passo 1

O enunciado pede as transformadas de Fourier cosseno e seno de
f(t)=t, t>=0
usando as definições
FCf(omega)=integral0^inftyf(t)cos(omega t),dt, FSf(omega)=integral0^inftyf(t)sin(omega t),dt
Para resolver, vamos ver que as integrais não convergem diretamente, então usamos um fator de convergência e^-alpha t com alpha>0, calculamos as integrais e depois fazemos alphato0^+.

Passo 2

Calcular
IC(alpha)=integral0^inftyt,e^-alpha tcos(omega t),dt
Podemos usar a transformada de Laplace conhecida
integral0^inftyt,e^-st,dt=1s^2,
e obter IC(alpha) diferenciando ou então usar fórmula direta (por exemplo, tabelas):
IC(alpha) =Relintegral0^inftyt,e^-(alpha-iomega)t,dtr =Rel1(alpha-iomega)^2r =alpha^2-omega^2(alpha^2+omega^2)^2

Passo 3

Fazendo o limite de Abel alphato0^+ em IC(alpha), obtemos
FCt(omega) =limalphato0^+IC(alpha) =limalphato0^+alpha^2-omega^2(alpha^2+omega^2)^2 =-1omega^2

Passo 4

Agora calcular
IS(alpha)=integral0^inftyt,e^-alpha tsin(omega t),dt
Usando a parte imaginária da mesma transformada complexa, ou tabela, chega-se a
IS(alpha) =Iml1(alpha-iomega)^2r =2,alpha,omega(alpha^2+omega^2)^2

Passo 5

Tomando o limite alphato0^+ em IS(alpha), vem
FSt(omega) =limalphato0^+IS(alpha) =limalphato0^+2,alpha,omega(alpha^2+omega^2)^2 =0

Resposta

FCt(omega)=-1omega^2,
FSt(omega)=0

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