Seja
em que
e
são funções integráveis. Defina:
a) A transformada cosseno de Fourier
b) A transformada seno de Fourier
Dada a função
, determine
e
.
a) A transformada cosseno de Fourier
Passo 1
O enunciado pede as transformadas de Fourier cosseno e seno de
usando as definições
Para resolver, vamos ver que as integrais não convergem diretamente, então usamos um fator de convergência
com
, calculamos as integrais e depois fazemos
.
Passo 2
Calcular
Podemos usar a transformada de Laplace conhecida
e obter
diferenciando ou então usar fórmula direta (por exemplo, tabelas):
Passo 3
Fazendo o limite de Abel
em
, obtemos
Passo 4
Agora calcular
Usando a parte imaginária da mesma transformada complexa, ou tabela, chega-se a
Passo 5
Tomando o limite
em
, vem