Obtenha a equação da reta tangente à imagem da função \mathrm{F}(\mathrm{t})=(\cot (\mathrm{t}), \operatorname{sen}(\mathrm{t}), \mathrm{t}), \mathrm{t} \in \mathrm{R}, no ponto de sua imagem que corresponde a \mathrm{t}=\pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva parametrizada \mathbf F(t) = (\cot(t), \sin(t), t), t\in\mathbb R, no ponto correspondente a t = \pi/2. Para isso, precisamos:
  1. Calcular o ponto \mathbf F(\pi/2).
  2. Determinar o vetor tangente \mathbf F'(t).
  3. Avaliar \mathbf F'(t) em t=\pi/2.
  4. Escrever a equação da reta a partir do ponto e do vetor diretriz.

Passo 2

Computamos o ponto da curva em t=\pi/2:
\mathbf F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \bigl(\cot(\tfrac{\pi}{2}),\,\sin(\tfrac{\pi}{2}),\,\tfrac{\pi}{2}\bigr) = (0,\,1,\,\tfrac{\pi}{2}).

Passo 3

Derivamos componente a componente para achar o vetor tangente:
\mathbf F'(t) = \bigl(\tfrac{d}{dt}\cot(t),\,\tfrac{d}{dt}\sin(t),\,\tfrac{d}{dt}t\bigr) = \bigl(-\csc^2(t),\,\cos(t),\,1\bigr).

Passo 4

Avalia-se \mathbf F'(t) em t=\pi/2:
\mathbf F'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \bigl(-\csc^2(\tfrac{\pi}{2}),\,\cos(\tfrac{\pi}{2}),\,1\bigr) = (-1,\,0,\,1).
Assim, a reta tangente passa por (0,1,\tfrac{\pi}{2}) e tem vetor diretriz (-1,0,1).

Resposta

A equação vetorial da reta tangente é
\mathbf r(s) = (0,1,\tfrac{\pi}{2}) + s\,(-1,0,1),\quad s\in\mathbb R.

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