Dada a função f(x, y)=1 / \sqrt{ }\left(x^{2}-y^{2}\right), determine:
a) O domínio de fe o represente geometricamente.
b) Determine pelo menos três curvas de nível.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}
e pede (a) o domínio de f com sua representação geométrica e (b) pelo menos três curvas de nível. Para resolver, vamos usar a condição de existência da raiz quadrada (o que dá o domínio) e a definição de curva de nível f(x,y)=c.

Passo 2

Para existir \sqrt{x^{2}-y^{2}} e não zerar o denominador, precisamos de
x^{2}-y^{2}>0.
Logo o domínio de f é
D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}-y^{2}>0\bigr\}.

Passo 3

Geometricamente, a fronteira x^{2}-y^{2}=0 são as retas
y=x \quad\text{e}\quad y=-x.
A condição x^{2}-y^{2}>0 significa \lvert x\rvert>\lvert y\rvert, ou seja, dois “cones” abertos: um à direita x>0, dentro de \,-x<y<x e outro à esquerda x<0, dentro de x<y<-x.

Passo 4

Para achar a curva de nível de valor c>0, impomos
\frac{1}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}=c \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^{2}-y^{2}}=\frac{1}{c} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-y^{2}=\frac{1}{c^{2}}.
Cada curva de nível é, portanto, uma hipérbole de equação x^{2}-y^{2}=1/c^{2}, ainda sujeita a x^{2}-y^{2}>0.

Passo 5

Escolhendo três valores de c, por exemplo c=1, c=2 e c=\tfrac12, obtemos as hipérboles:
\begin{aligned} c=1:&\quad x^{2}-y^{2}=1,\\\ c=2:&\quad x^{2}-y^{2}=\frac{1}{4},\\\ c=\tfrac12:&\quad x^{2}-y^{2}=4. \end{aligned}

Resposta

a) D=\{(x,y)\mid x^{2}-y^{2}>0\}, ou seja, as duas regiões \lvert x\rvert>\lvert y\rvert delimitadas pelas retas y=\pm x.
b) Três curvas de nível são as hipérboles
x^{2}-y^{2}=1,\quad x^{2}-y^{2}=\tfrac14,\quad x^{2}-y^{2}=4.

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