Encontre os limites:
\lim (x, y) \rightarrow(2,9)\left(3 x^{2}-y^{2}+5\right) /\left(x^{2}+y+2\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite de
\frac{3x^{2}-y^{2}+5}{x^{2}+y+2}
quando (x,y)\to(2,9). Vamos usar o fato de que polinômios são funções contínuas e aplicar o teste de substituição direta, desde que o denominador em (2,9) não seja zero.

Passo 2

Verificamos o denominador em (2,9):
x^{2}+y+2 = 2^{2} + 9 + 2 = 4 + 9 + 2 = 15.
Como 15\neq0, podemos prosseguir com a substituição direta na função.

Passo 3

Calculamos o numerador em (2,9):
3x^{2}-y^{2}+5 = 3\cdot2^{2} - 9^{2} + 5 = 12 - 81 + 5 = -64.

Passo 4

Como tanto numerador quanto denominador são valores finitos em (2,9), o limite é simplesmente a razão desses valores:
\lim_{(x,y)\to(2,9)} \frac{3x^{2}-y^{2}+5}{x^{2}+y+2} = \frac{-64}{15}.

Resposta

-\frac{64}{15}

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