Verifique se os conjuntos abaixo formam um subespaço. W=A in M(2,2) lvert, A=[lla & b c & d]; a d >= b c

Passo 1

Beleza! Vamos ver se o conjunto W = A in M(2,2) ,g|, A = a & b c & d ; , ad >= bc forma um subespaço. O enunciado nos dá:
Aqui, estamos lidando com matrizes 2x2 e uma condição que relaciona os elementos da matriz. Para verificar se é um subespaço, precisamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades de subespaços vetoriais. Vamos precisar verificar três coisas:
  1. Se a matriz zero está em .
  2. Se é fechado sob soma.
  3. Se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a matriz zero está em 0 = 0 & 0 0 & 0 . A matriz zero em 0 times 0 >= 0 times 0 Rightarrow 0 >= 0 é:
Vamos verificar a condição :
Isso é verdadeiro, então a matriz zero está em .

Passo 3

Agora, vamos checar se A = a & b c & d in W Rightarrow ad >= bc é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes em B = e & f g & h in W Rightarrow eh >= fg , a soma delas também está em A + B = a+e & b+f c+g & d+h .
Sejam:
(1+1)(1+1) = 4
(0+1)(0+1) = 1
Vamos somar (1 + (-1))(1 + (-1)) = 0 e (1 + (-1))(1 + (-1)) = 0 :
Precisamos verificar se . Porém, isso nem sempre é verdadeiro. Por exemplo:
Se , , e , :
Aqui, é verdadeiro. Mas se escolhermos , , , :
Isso ainda satisfaz, mas existem combinações onde a desigualdade não se mantém. Portanto, não é fechado sob adição em geral.

Passo 4

Como já vimos que não é fechado sob adição, não precisamos verificar a multiplicação por escalar. Já que uma das condições não é satisfeita, podemos concluir que não é um subespaço de .

Resposta

O conjunto não forma um subespaço de .

Exercícios relacionados