Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de
que equidistam das três retas
Descreva o lugar geométrico.
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos
tais que
onde cada
é a distância de
à reta
. O conteúdo que vamos usar é (1) expressão vetorial de retas em
, (2) fórmula da distância de um ponto a uma reta, e (3) a observação de que, se três retas são paralelas, essa condição se reduz a encontrar, num plano ortogonal à direção comum, o circuncentro de três pontos, e depois “reextrudir” ao longo da direção comum.
Passo 2
Mostramos que as três retas são paralelas e extraímos uma direção comum
e um ponto em cada reta.
r :
r
escolhendo parâmetro
em
e
, fica
r
:
resolve-se e obtém-se
, logo
r
:
dá
, logo
Em todas, o vetor diretor é
Passo 3
Para retas paralelas a
, a distância de
a cada reta depende só da projeção ortogonal de
num plano perpendicular a
. Escolhemos o plano
A projeção de
em
é
Projetando pontos de referência em cada reta (tomamos
,
,
), obtemos em coordenadas
no plano
:
Passo 4
No plano
temos o triângulo
. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de
é o seu circuncentro. Basta intersectar duas mediatrizes:
Mediatriz de é
Mediatriz de : o ponto médio é
e a reta
tem coeficiente angular
, logo a mediatriz tem coeficiente
e passa por
. Interseção com
dá para a coordenada
Mediatriz de
Mediatriz de
Assim o circuncentro em
é
Passo 5
Voltam-se aos pontos
em
cuja projeção em
é
. Esses
formam a reta paralela a
passando por
Portanto o lugar geométrico buscado é a reta em
dada por
Resposta
O lugar geométrico é a reta
ou seja, todas as combinações
,
.