(a) Obtenha as equações de movimento da carga usando a formulação Newtoniana.
(b) A Lagrangiana da carga no campo eletromagnético é
Mostre que
fornece as mesmas equações de movimento já obtidas na formulação Newtoniana.
(b) A Lagrangiana da carga no campo eletromagnético é
Passo 1
Beleza, o enunciado pede duas coisas:
(a) usar a formulação Newtoniana pra achar as equações de movimento de uma carga num campo elétrico e magnético;
(b) mostrar que a Lagrangiana
(a) usar a formulação Newtoniana pra achar as equações de movimento de uma carga
(b) mostrar que a Lagrangiana
leva exatamente às mesmas equações.
Conteúdo: mecânica clássica (força de Lorentz) e Lagrangiana em campos EM. Vamos precisar da força , das definições
Conteúdo: mecânica clássica (força de Lorentz) e Lagrangiana em campos EM. Vamos precisar da força
e da equação de Euler–Lagrange.
Passo 2
Resolução Newtoniana.
- A força resultante na carga é a força de Lorentz:
- Pela 2ª lei de Newton,
. - Logo
Pronto, essa é a equação de movimento na abordagem Newtoniana.
Passo 3
Resolução via Lagrangiana.
- A equação de Euler–Lagrange para cada coordenada
é
- Calculando
:
- Então
- Agora
:
- Substituindo no EL e ajeitando termos, dá
- Reconhecendo
e
,
vemos que fica exatamente
Resposta
As equações de movimento são
tanto pela via Newtoniana quanto pela Lagrangiana dada.