(a) Obtenha as equações de movimento da carga usando a formulação Newtoniana.
(b) A Lagrangiana da carga no campo eletromagnético é
Lr, dotr ; t=12 m dotr^2-q phi(r, t)+qc dotr cdot A(r, t)
Mostre que Lr, dotr ; t fornece as mesmas equações de movimento já obtidas na formulação Newtoniana.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede duas coisas:
(a) usar a formulação Newtoniana pra achar as equações de movimento de uma carga L(boldsymbol r,dotboldsymbol r,t) =12 mdot r^2 - q,phi(boldsymbol r,t) +qc,dotboldsymbol rcdotboldsymbol A(boldsymbol r,t) num campo elétrico e magnético;
(b) mostrar que a Lagrangiana
boldsymbol E=-nablaphi-1cpartialboldsymbol Apartial t, boldsymbol B=nablatimesboldsymbol A
leva exatamente às mesmas equações.
Conteúdo: mecânica clássica (força de Lorentz) e Lagrangiana em campos EM. Vamos precisar da força , das definições
e da equação de Euler–Lagrange.

Passo 2

Resolução Newtoniana.
  1. A força resultante na carga é a força de Lorentz:
boldsymbol F = q,boldsymbol E + qc,dotboldsymbol rtimesboldsymbol B
  1. Pela 2ª lei de Newton, m,ddotboldsymbol r = ql(boldsymbol E + tfrac1c,dotboldsymbol rtimesboldsymbol Br) .
  2. Logo
Pronto, essa é a equação de movimento na abordagem Newtoniana.

Passo 3

Resolução via Lagrangiana.
  1. A equação de Euler–Lagrange para cada coordenada ddtl(partial Lpartial dot rjr) - partial Lpartial rj = 0 é
partial Lpartial dot rj = m,dot rj + qc,Aj(boldsymbol r,t)
  1. Calculando ddtl(mdot rj + tfrac qc Ajr) = m,ddot rj + qcl(sumipartial Ajpartial ridot ri + partial Ajpartial tr) :
partial Lpartial rj = -q,partial phipartial rj + qc,dot ri,partial Aipartial rj
  1. Então
m,ddot rj = ql(-partialphipartial rj -1cpartial Ajpartial tr) +qc,dot ril(partial Ajpartial ri -partial Aipartial rjr)
  1. Agora m,ddotboldsymbol r = ql(boldsymbol E + tfrac1c,dotboldsymbol rtimesboldsymbol Br) :
  1. Substituindo no EL e ajeitando termos, dá
  1. Reconhecendo
    e
    ,
    vemos que fica exatamente

Resposta

As equações de movimento são
boxedm,ddotboldsymbol r = ql(boldsymbol E + tfrac1c,dotboldsymbol rtimesboldsymbol Br),
tanto pela via Newtoniana quanto pela Lagrangiana dada.

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