Obtenha equações paramétricas para a reta que passa pelos pontos P e Q e também para o segmento de reta ligando esses pontos.
P(-1,0,1), \quad Q(-1,2,1)

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos P(-1,0,1) e Q(-1,2,1), e também as equações paramétricas do segmento de reta que une esses mesmos pontos. O conteúdo é geometria analítica no espaço, usando vetor diretor e representação paramétrica de reta e segmento de reta. Para resolver, precisamos achar o vetor direção \overrightarrow{PQ} e então escrever
  1. a reta: \mathbf{r}(t)=P + t\,\overrightarrow{PQ}, t\in\mathbb{R}.
  2. o segmento: \mathbf{r}(s)=P + s\,\overrightarrow{PQ}, s\in[0,1].

Passo 2

Calcular o vetor direção \overrightarrow{PQ} subtraindo coordenadas de P de Q:
\overrightarrow{PQ} = Q - P = (-1,2,1) - (-1,0,1) = \bigl(-1+1,\;2-0,\;1-1\bigr) = (0,2,0).

Passo 3

Escrever a equação paramétrica da reta:
Tomando parâmetro t\in\mathbb{R},
\mathbf{r}(t) = P + t\,\overrightarrow{PQ} = (-1,0,1) + t\,(0,2,0).
Separando em coordenadas:
\begin{cases} x(t) = -1,\\\ y(t) = 0 + 2t = 2t,\\\ z(t) = 1. \end{cases}

Passo 4

Escrever a equação paramétrica do segmento de reta ligando P a Q:
Tomando parâmetro s\in[0,1],
\mathbf{r}(s) = P + s\,\overrightarrow{PQ} = (-1,0,1) + s\,(0,2,0).
Em coordenadas:
\begin{cases} x(s) = -1,\\\ y(s) = 2s,\\\ z(s) = 1, \end{cases} \quad s\in[0,1].

Resposta

Reta em \mathbb{R}^3\): \[\begin{cases} x(t) = -1,\\\ y(t) = 2t,\\\ z(t) = 1, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
Segmento de reta (PQ]:
\begin{cases} x(s) = -1,\\\ y(s) = 2s,\\\ z(s) = 1, \end{cases} \quad s\in[0,1].

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