Obtenha a expressão para a força entre dois condutores conduzindo correntes. Explique porque os fios são repelidos ou atraídos dependendo do sentido da corrente elétrica.
**Dica: Analise o sentido do campo magnético via regra da mão direita.

Passo 1

O que o enunciado pede: obter a expressão da força entre dois condutores que conduzem correntes e explicar por que eles se atraem ou se repelem dependendo do sentido das correntes.
Dados e hipóteses que vamos usar (tudo assumido pelo enunciado típico):
  • Dois fios longos, retilíneos e paralelos, separados por uma distância \,r\,.
  • Os fios carregam correntes constantes \,I_1 e \,I_2.
  • Consideramos um trecho de comprimento \,L de cada fio para calcular a força sobre esse trecho.
  • Meio no qual estão os fios é o vácuo (ou ar), com permeabilidade magnética \,\mu_0.
  • Perguntas: (1) qual a expressão da força (magnitude e dependência com I_1,I_2,r,L); (2) por que a força é atrativa quando as correntes têm o mesmo sentido e repulsiva quando têm sentidos opostos.

Passo 2

Campo magnético criado por um fio retilíneo longo: explicação e fórmula.
  • Conceito usado: Ampère mostrou que, para um fio longo e retilíneo com corrente \,I, o campo magnético ao redor tem simetria circular em torno do fio e seu módulo depende só da distância radial r ao fio.
  • Lei de Ampère (forma integral): \oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enc}}.
Aqui \vec{B} é o campo magnético, d\vec{\ell} é um elemento do caminho de integração e I_{\text{enc}} é a corrente atravessando a superfície associada à curva.
  • Escolhemos um contorno circular de raio \,r centrado no fio: por simetria \vec{B} tem módulo constante nesse círculo e é tangente a ele. Então B(2\pi r)=\mu_0 I,
logo isolando B obtemos a expressão usada frequentemente: B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
  • O que as variáveis significam: \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{N/A^2}), I é a corrente no fio que cria o campo, e r é a distância do fio ao ponto onde se calcula o campo.

Passo 3

Força sobre um fio que está imerso em um campo magnético: expressão básica e interpretação.
  • Quando um fio percorre uma corrente \,I atravessa um campo magnético \vec{B}, um elemento de comprimento d\vec{\ell} sofre força magnética dada por: d\vec{F}=I\,d\vec{\ell}\times\vec{B}.
Isto vem da soma das forças de Lorentz sobre as cargas em movimento dentro do fio; I é a corrente e d\vec{\ell} tem direção do fluxo de corrente.
  • Para um trecho retilíneo de comprimento L com corrente numa direção fixa e campo aproximadamente uniforme ao longo desse trecho, a força total tem módulo F = I\,L\,B\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre a direção do fio (vetor d\vec{\ell}) e \vec{B}. O sentido da força é dado pela regra da mão direita para o produto vetorial d\vec{\ell}\times\vec{B}.

Passo 4

Aplicando o campo do fio 1 sobre o fio 2: cálculo da magnitude da força.
  • O fio 1 (corrente \,I_1) cria um campo no local do fio 2 dado por (usando o resultado do Passo 2): B_1(r)=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}.
  • O fio 2, que contém corrente \,I_2, estará sujeito à força de módulo (já que o campo do fio 1 é, em cada ponto do fio 2, perpendicular à direção do fio se os fios são paralelos): F = I_2\,L\,B_1(r)\cdot\sin 90^\circ = I_2\,L\,B_1(r).
  • Substituindo B_1(r): F = I_2\,L\,\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}\,L.
  • Expressão por unidade de comprimento (muito usada em enunciados): \frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}.
  • Interpretação prática: a força é diretamente proporcional ao produto das correntes e inversamente proporcional à distância entre os fios.

Passo 5

Orientação (sentido) da força — usar a regra da mão direita com um exemplo concreto para ver atração/repulsão.
  • Vamos escolher um sistema de referência simples: os fios são paralelos ao eixo \,z. Coloque o fio 1 no eixo z passando por (x,y)=(0,0) e o fio 2 parallelamente em (x,y)=(r,0) (ou seja, à direita do fio 1, na direção + x).
  • Primeiro, determine a direção do campo \vec{B}_1 criado pelo fio 1 no ponto onde está o fio 2. Use a regra da mão direita: polegar apontando no sentido da corrente \,I_1 (para cima, no sentido + z); os dedos que fecham ao redor do fio mostram a direção de \vec{B}_1. No ponto (r,0) (eixo + x), os dedos apontam para + y. Logo \vec{B}_1 \text{ no fio 2 é na direção } +\hat{y}.éçã
  • Agora a força sobre o fio 2 é \vec{F}_2 = I_2 L\,\hat{\ell}_2\times\vec{B}_1. Se I_2 também estiver no sentido + z (mesmo sentido que I_1), então \hat{\ell}_2=+\hat{z} e \hat{z}\times\hat{y} = -\hat{x},
ou seja, \vec{F}_2 aponta para -\hat{x}, ou seja, para a esquerda — isto é, em direção ao fio 1. Conclusão: correntes no mesmo sentido atraem-se.
  • Se I_2 estiver no sentido oposto (para baixo, -\hat{z}), então \hat{\ell}_2=-\hat{z} e (-\hat{z})\times\hat{y} = +\hat{x},
ou seja, a força aponta para a direita, afastando o fio 2 do fio 1. Conclusão: correntes em sentidos opostos repelem-se.
  • Resumo físico: o campo circular criado por um fio exerce, via produto vetorial com a corrente no outro fio, uma força que aponta para dentro (atração) quando as correntes estão no mesmo sentido e para fora (repulsão) quando têm sentidos opostos.

Passo 6

Intuição física simples e vínculo com a definição do ampère.
  • Intuição: cargas em movimento no fio 2 são desviadas lateralmente pelo campo magnético criado pelo fio 1; esse desvio corresponde a uma força lateral no fio inteiro. Se as correntes têm o mesmo sentido, a orientação do campo e o sentido do movimento das cargas produzem uma força dirigida para o outro fio (atração). Se os sentidos são opostos, a força é para longe (repulsão).
  • Observação histórica: a unidade ampère foi definida com base exatamente nessa força entre correntes. Usando \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^2}, para I_1=I_2=1\\ \mathrm{A} e r=1\\ \mathrm{m} obtém-se \frac{F}{L}=\frac{\mu_0\cdot 1\cdot 1}{2\pi\cdot 1}=2\times 10^{-7}\\ \mathrm{N/m},
valor que aparece na definição experimental clássica do ampère.

Passo 7

Recapitulando e escrevendo a fórmula final de forma clara.
  • Fórmula da força (magnitude) entre dois condutores retilíneos, paralelos e longos, separação r, para um trecho de comprimento L: F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}\,L.
  • Por unidade de comprimento: \frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}.
  • Direção: atração se I_1 e I_2 têm o mesmo sentido; repulsão se têm sentidos opostos. Use sempre a regra da mão direita para checar o sentido em problemas concretos.

Resposta

\displaystyle F=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}\,L \n
Atraem-se se I_1 e I_2 têm o mesmo sentido; repelem-se se têm sentidos opostos.

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