Obtenha a expressão do peso P^{\prime} em função de P, d e h no equilibrio.

Passo 1

O enunciado pede: obter a expressão do peso \,P^{\prime}\, em função de \,P, d e h\, quando o sistema está em equilíbrio.
Dos dados que identifiquei na imagem (estou pegando esses dados da imagem): a polia central sustenta o peso \,P\, para baixo; dessa polia saem duas cordas idênticas que vão até dois apoios simétricos, cada um a uma distância horizontal \,d\, do centro e a uma diferença vertical \,h\, em relação ao centro (ou seja, cada corda desce verticalmente uma altura h ao atingir o apoio); à direita a corda passa por uma polia e segura o peso \,P^{\prime}. Vou assumir cordas e polias ideais (sem massa e sem atrito), como é usual nesses problemas.

Passo 2

Análise das forças na polia central (diagrama de corpo livre): a polia central sofre para baixo a força peso \,P\, (pela haste/roldana que a prende) e, para cima e ao longo das duas cordas, duas tensões iguais T (a corda é contínua entre as polias, portanto a tensão é a mesma em ambas as ramificações ligadas à polia central). Como a corda direita sustenta o peso \,P^{\prime} através de uma polia ideal, a tensão vale
T = P^{\prime}.
Expliquei: numa polia ideal sem atrito, a tensão na corda é igual ao peso pendurado.

Passo 3

Equilíbrio vertical da polia central: as duas tensões têm componentes verticais para cima que equilibram P. Se \theta é o ângulo que cada corda faz com a horizontal (ângulo simétrico à esquerda e à direita), a componente vertical de cada tensão é T\sin\theta. Portanto, a condição de equilíbrio vertical é
2T\sin\theta - P = 0,
ou seja
2T\sin\theta = P.

Passo 4

Expressar \sin\theta usando a geometria indicada (peguei d e h da imagem). A corda entre o centro e o apoio forma um triângulo retângulo com cateto horizontal d e cateto vertical h; o comprimento da corda entre centro e apoio é a hipotenusa
L = \sqrt{d^{2}+h^{2}}.
O seno do ângulo \theta (ângulo entre a corda e a horizontal) é a razão entre o cateto oposto h e a hipotenusa L:
\sin\theta = \frac{h}{\sqrt{d^{2}+h^{2}}}.

Passo 5

Substituo T=P^{\prime} (do Passo 2) e \sin\theta (do Passo 4) na equação de equilíbrio do Passo 3:
2P^{\prime}\sin\theta = P
2P^{\prime}\cdot\frac{h}{\sqrt{d^{2}+h^{2}}} = P.
Agora isolo P^{\prime}:
P^{\prime} = \frac{P}{2}\cdot\frac{\sqrt{d^{2}+h^{2}}}{h}.

Passo 6

Simplificando a expressão chego à forma final (colocando tudo em uma fração só):
P^{\prime}=\frac{P\sqrt{d^{2}+h^{2}}}{2h}.
Comentário rápido para dar confiança: se h diminui (cordas mais quase horizontais), \,P^{\prime}\, cresce — isso faz sentido físico, porque cordas quase horizontais precisam de tensionamento maior para produzir a mesma componente vertical.

Resposta

P^{\prime}=\frac{P\sqrt{d^{2}+h^{2}}}{2h}

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