Obtenha a expressão do peso
em função de
e
no equilibrio.
Passo 1
O enunciado pede: obter a expressão do peso
em função de
e
quando o sistema está em equilíbrio.
Dos dados que identifiquei na imagem (estou pegando esses dados da imagem): a polia central sustenta o peso para baixo; dessa polia saem duas cordas idênticas que vão até dois apoios simétricos, cada um a uma distância horizontal
do centro e a uma diferença vertical
em relação ao centro (ou seja, cada corda desce verticalmente uma altura
ao atingir o apoio); à direita a corda passa por uma polia e segura o peso
. Vou assumir cordas e polias ideais (sem massa e sem atrito), como é usual nesses problemas.
Dos dados que identifiquei na imagem (estou pegando esses dados da imagem): a polia central sustenta o peso
Passo 2
Análise das forças na polia central (diagrama de corpo livre): a polia central sofre para baixo a força peso
(pela haste/roldana que a prende) e, para cima e ao longo das duas cordas, duas tensões iguais
(a corda é contínua entre as polias, portanto a tensão é a mesma em ambas as ramificações ligadas à polia central). Como a corda direita sustenta o peso
através de uma polia ideal, a tensão vale
Expliquei: numa polia ideal sem atrito, a tensão na corda é igual ao peso pendurado.
Passo 3
Equilíbrio vertical da polia central: as duas tensões têm componentes verticais para cima que equilibram
. Se
é o ângulo que cada corda faz com a horizontal (ângulo simétrico à esquerda e à direita), a componente vertical de cada tensão é
. Portanto, a condição de equilíbrio vertical é
ou seja
Passo 4
Expressar
usando a geometria indicada (peguei
e
da imagem). A corda entre o centro e o apoio forma um triângulo retângulo com cateto horizontal
e cateto vertical
; o comprimento da corda entre centro e apoio é a hipotenusa
O seno do ângulo
(ângulo entre a corda e a horizontal) é a razão entre o cateto oposto
e a hipotenusa
:
Passo 5
Substituo
(do Passo 2) e
(do Passo 4) na equação de equilíbrio do Passo 3:
Agora isolo
:
Passo 6
Simplificando a expressão chego à forma final (colocando tudo em uma fração só):
Comentário rápido para dar confiança: se
diminui (cordas mais quase horizontais),
cresce — isso faz sentido físico, porque cordas quase horizontais precisam de tensionamento maior para produzir a mesma componente vertical.