Calcule os cossenos diretores dos vetores \mathbf{A B}, \mathbf{A C e} \mathbf{AD}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular os cossenos diretores dos vetores \mathbf{AB},\mathbf{AC} e \mathbf{AD}.
Da figura (peguei as medidas diretamente da imagem) tomo o ponto O como origem do sistema de coordenadas mostrado e as coordenadas dos pontos conforme as distâncias indicadas na base e na altura da coluna. Assim tenho os pontos:
O=(0,0,0),\qquad A=(0,0,70),
B=(-20,-25,0),\qquad C=(30,20,0),\qquad D=(10,40,0).
(Obs.: confirmei essas medidas lendo os rótulos de 20 m, 25 m, 30 m, 20 m, 10 m e 40 m que aparecem na projeção horizontal da figura e a altura 70 m indicada para A.)

Passo 2

O que são cossenos diretores?
Se um vetor em coordenadas é \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z), seus cossenos diretores são as projeções do versor \hat{\mathbf{v}}=\mathbf{v}/\|\mathbf{v}\| sobre os eixos x,y,z. Ou seja:
\cos\alpha=\frac{v_x}{\|\mathbf{v}\|},\qquad \cos\beta=\frac{v_y}{\|\mathbf{v}\|},\qquad \cos\gamma=\frac{v_z}{\|\mathbf{v}\|},
onde \|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} é o comprimento (módulo) do vetor. Vou aplicar isso para \mathbf{AB},\mathbf{AC},\mathbf{AD}. Lembre: para um vetor \mathbf{A B} calculamos \mathbf{AB}=\mathbf{B}-\mathbf{A}.

Passo 3

Calcular \mathbf{AB} e seus cossenos diretores.
\mathbf{AB}=\mathbf{B}-\mathbf{A}=(-20,-25,0)-(0,0,70)=(-20,-25,-70).
Módulo:
\|\mathbf{AB}\|=\sqrt{(-20)^2+(-25)^2+(-70)^2}=\sqrt{400+625+4900}=\sqrt{5925}=5\sqrt{237}\approx76{,}974.
Cossenos diretores:
\cos\alpha_{AB}=\frac{-20}{\|\mathbf{AB}\|}\approx\frac{-20}{76{,}974}\approx-0{,}260,
\cos\beta_{AB}=\frac{-25}{\|\mathbf{AB}\|}\approx\frac{-25}{76{,}974}\approx-0{,}325,
\cos\gamma_{AB}=\frac{-70}{\|\mathbf{AB}\|}\approx\frac{-70}{76{,}974}\approx-0{,}909.

Passo 4

Calcular \mathbf{AC} e seus cossenos diretores.
\mathbf{AC}=\mathbf{C}-\mathbf{A}=(30,20,0)-(0,0,70)=(30,20,-70).
Módulo:
\|\mathbf{AC}\|=\sqrt{30^2+20^2+(-70)^2}=\sqrt{900+400+4900}=\sqrt{6200}=10\sqrt{62}\approx78{,}740.
Cossenos diretores:
\cos\alpha_{AC}=\frac{30}{\|\mathbf{AC}\|}\approx\frac{30}{78{,}740}\approx0{,}381,
\cos\beta_{AC}=\frac{20}{\|\mathbf{AC}\|}\approx\frac{20}{78{,}740}\approx0{,}254,
\cos\gamma_{AC}=\frac{-70}{\|\mathbf{AC}\|}\approx\frac{-70}{78{,}740}\approx-0{,}888.

Passo 5

Calcular \mathbf{AD} e seus cossenos diretores.
\mathbf{AD}=\mathbf{D}-\mathbf{A}=(10,40,0)-(0,0,70)=(10,40,-70).
Módulo:
\|\mathbf{AD}\|=\sqrt{10^2+40^2+(-70)^2}=\sqrt{100+1600+4900}=\sqrt{6600}=10\sqrt{66}\approx81{,}240.
Cossenos diretores:
\cos\alpha_{AD}=\frac{10}{\|\mathbf{AD}\|}\approx\frac{10}{81{,}240}\approx0{,}123,
\cos\beta_{AD}=\frac{40}{\|\mathbf{AD}\|}\approx\frac{40}{81{,}240}\approx0{,}492,
\cos\gamma_{AD}=\frac{-70}{\|\mathbf{AD}\|}\approx\frac{-70}{81{,}240}\approx-0{,}861.

Passo 6

Pequena verificação numérica: para cada vetor a soma dos quadrados dos cossenos deve ser aproximadamente 1. Por exemplo, para \mathbf{AB}:
(-0{,}260)^2+(-0{,}325)^2+(-0{,}909)^2\approx0{,}999\approx1,
o que confirma consistência numérica (mesmo para os outros vetores a soma fica muito próxima de 1).

Resposta

\mathbf{AB}:\;(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\approx(-0{,}260,\,-0{,}325,\,-0{,}909)
\mathbf{AC}:\;(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\approx(0{,}381,\;0{,}254,\;-0{,}888)
\mathbf{AD}:\;(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\approx(0{,}123,\;0{,}492,\;-0{,}861)

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