Obtenha uma expressão para o vetor força elétrica sobre uma carga q1 que está em um vértice de um triângulo equilátero, provocada por outras duas cargas, q2 e q3, posicionadas nos outros dois vértices. As três cargas possuem mesma intensidade e sinal.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz: temos três cargas elétricas iguais e de mesmo sinal, nos vértices de um triângulo equilátero de lado a. Queremos achar a expressão do vetor força resultante sobre a carga q1, por causa das cargas q2 e q3.
Conteúdo que vamos usar:
  1. Lei de Coulomb em forma vetorial:
F = k,qi,qjr^2,rij
  1. Decomposição vetorial e soma de vetores.
  2. Geometria do triângulo (altura e ângulos de 60°).

Passo 2

Primeiro, vamos pôr um sistema de coordenadas legal:
  • Eixo x horizontal, eixo y vertical.
  • Coloco ;q2 em (-tfraca2,0) e ;q3 em (+tfraca2,0).
  • Aí a carga ;q1 fica no topo, em (0,h), onde h é a altura do triângulo.

Passo 3

Calcular a altura h de um triângulo equilátero de lado a.
Pelo teorema de Pitágoras num triângulo 30–60–90:
h = raiz32,a
Então ;q1 está em l(0,tfracraiz32ar).

Passo 4

Lei de Coulomb vetorial: força sobre q1 por uma carga qj é
Fjto1 ;=; k,q1qj|vec r1j|^2;hat r1j,
onde vec r1j = vec rj-vec r1 aponta de q1 pra qj.
Aqui q1=q2=q3=q e |vec r1j|=a sempre.

Passo 5

Vamos achar componentes de vec F2to1 e vec F3to1.
  1. Vetor vec r12 = (-tfraca2,0) - (0,h) = l(-tfraca2,,-hr).
    Módulo =a, logo o versor é hat r12 = l(-tfrac12,,-tfrachar) = l(-tfrac12,,-tfracraiz32r) Assim vec F2to1 = k,q^2a^2, l(-tfrac12,,-tfracraiz32r)
  2. De modo análogo, hat r13 = l(+tfrac12,,-tfracraiz32r), vec F3to1 = k,q^2a^2, l(+tfrac12,,-tfracraiz32r)

Passo 6

Agora somamos componente a componente:
  • Componente x: F2to1,x + F3to1,x = kq^2a^2l(-tfrac12 + tfrac12r) = 0
  • Componente y: F2to1,y + F3to1,y = kq^2a^2l(-tfracraiz32 - tfracraiz32r) = -,kq^2a^2,raiz3
Então o vetor resultante é todo para baixo (eixo y negativo).

Resposta

boxedvec F,sobre q1 = -,k,q^2,raiz3a^2;jmath

Exercícios relacionados