Temos um numerador de grau 2 e um denominador que é produto de um fator linear por um quadrático conforme escrito acima.
Passo 2
Primeiro organizamos o denominador em polinômio monico de grau 3, expandindo o produto fornecido. Multiplicando (s+1)(s^{2}+5s+5) obtemos:
(s+1)(s^{2}+5s+5)=s^{3}+6s^{2}+10s+5.
Assim podemos escrever
T(s)=\frac{s^{2}+3s+8}{s^{3}+6s^{2}+10s+5}.
Observe que o grau do numerador (2) é menor que o grau do denominador (3), portanto a função é própria e o termo de passagem direta é D=0.
Passo 3
Vou usar a realização canônica controlável (companion form), que é a forma padrão e direta para converter um racional com denominador monico em espaço de estados. Vou explicar por que ela é prática:
Seja o denominador escrito como
s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots+a_{n}.
A forma canônica controlável escolhe a matriz A no formato “companheiro”:
Por que isso funciona (intuição): o determinante de sI-A é exatamente o polinômio do denominador e a forma do adjunto faz com que C\,\mathrm{adj}(sI-A)\,B gere o polinômio do numerador b_{0}s^{n-1}+\cdots+b_{n-1}. Na prática, você só coloca os coeficientes do denominador na primeira linha de A com sinal negativo e os coeficientes do numerador em C.
Passo 4
Identificamos os coeficientes do polinômio do denominador e do numerador para o nosso caso (n=3):
Breve comentário prático: em prova, basta identificar a_i do denominador monico e b_j do numerador ajustado ao grau n-1; montar A com -a_i na primeira linha e deslocamento de 1s na subdiagonal, B com 1 na primeira posição e C com os coeficientes do numerador. Isso é rápido e evita cálculo de inversas.
Passo 6
Se quiser checar rapidamente: a forma canônica garante que
que coincide com o T(s) dado quando usamos os coeficientes identificados acima. Boa! Você agora tem a realização em espaço de estados pronta para usar em simulações ou análises (estabilidade, controle, observadores etc.). Força nos estudos — tá no caminho certo!