Represente a função de transferência a seguir no espaço de estados. Forneça sua resposta na
forma vetorial-matricial. [Seção: 3.5.]
T(s)=\frac{\left(s^{2}+3 s+8\right)}{(s+1)\left(s^{2}+5 s+5\right)}

Passo 1

O enunciado pede: representar a função de transferência fornecida no espaço de estados, ou seja, dar uma forma vetorial-matricial (A,B,C,D) tal que
T(s)=C\,(sI-A)^{-1}B+D.
Informações relevantes dadas no enunciado:
T(s)=\frac{\left(s^{2}+3 s+8\right)}{(s+1)\left(s^{2}+5 s+5\right)}.
Temos um numerador de grau 2 e um denominador que é produto de um fator linear por um quadrático conforme escrito acima.

Passo 2

Primeiro organizamos o denominador em polinômio monico de grau 3, expandindo o produto fornecido. Multiplicando (s+1)(s^{2}+5s+5) obtemos:
(s+1)(s^{2}+5s+5)=s^{3}+6s^{2}+10s+5.
Assim podemos escrever
T(s)=\frac{s^{2}+3s+8}{s^{3}+6s^{2}+10s+5}.
Observe que o grau do numerador ( 2) é menor que o grau do denominador ( 3), portanto a função é própria e o termo de passagem direta é D=0.

Passo 3

Vou usar a realização canônica controlável (companion form), que é a forma padrão e direta para converter um racional com denominador monico em espaço de estados. Vou explicar por que ela é prática:
  • Seja o denominador escrito como
s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots+a_{n}.
  • A forma canônica controlável escolhe a matriz A no formato “companheiro”:
A=\begin{pmatrix} - a_{1} & - a_{2} & \cdots & -a_{n} \\\\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\\\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix},
com B=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\vdots\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Se o numerador for escrito (com n sendo a ordem do denominador) como
b_{0}s^{\,n-1}+b_{1}s^{\,n-2}+\cdots+b_{n-1},
então a realização canônica controlável usa
C=\begin{pmatrix} b_{0} & b_{1} & \cdots & b_{n-1}\end{pmatrix}, \qquad D=0.
Por que isso funciona (intuição): o determinante de sI-A é exatamente o polinômio do denominador e a forma do adjunto faz com que C\,\mathrm{adj}(sI-A)\,B gere o polinômio do numerador b_{0}s^{n-1}+\cdots+b_{n-1}. Na prática, você só coloca os coeficientes do denominador na primeira linha de A com sinal negativo e os coeficientes do numerador em C.

Passo 4

Identificamos os coeficientes do polinômio do denominador e do numerador para o nosso caso ( n=3):
\text{denominador } s^{3}+a_{1}s^{2}+a_{2}s+a_{3}\quad\Rightarrow\quad a_{1}=6,\\ a_{2}=10,\\ a_{3}=5.
\text{numerador } b_{0}s^{2}+b_{1}s+b_{2}\quad\Rightarrow\quad b_{0}=1,\\ b_{1}=3,\\ b_{2}=8.

Passo 5

Agora montamos as matrizes da forma canônica controlável de ordem 3. Pela regra do passo anterior:
A=\begin{pmatrix} - a_{1} & - a_{2} & - a_{3} \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & -10 & -5 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},
B=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \qquad C=\begin{pmatrix}b_{0} & b_{1} & b_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 8\end{pmatrix}, \qquad D=0.
Breve comentário prático: em prova, basta identificar a_i do denominador monico e b_j do numerador ajustado ao grau n-1; montar A com -a_i na primeira linha e deslocamento de 1s na subdiagonal, B com 1 na primeira posição e C com os coeficientes do numerador. Isso é rápido e evita cálculo de inversas.

Passo 6

Se quiser checar rapidamente: a forma canônica garante que
T(s)=C\,(sI-A)^{-1}B+D=\frac{b_{0}s^{2}+b_{1}s+b_{2}}{s^{3}+a_{1}s^{2}+a_{2}s+a_{3}},
que coincide com o T(s) dado quando usamos os coeficientes identificados acima. Boa! Você agora tem a realização em espaço de estados pronta para usar em simulações ou análises (estabilidade, controle, observadores etc.). Força nos estudos — tá no caminho certo!

Resposta

A=\begin{pmatrix} -6 & -10 & -5\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1 & 3 & 8\end{pmatrix},\qquad D=0]

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