Obtenha a função de transferência, G(s)=C(s) / R(s), correspondente à equação diferencial:
d^3 cd t^3+3 d^2 cd t^2+7 d cd t+5 c=d^2 rd t^2+4 d rd t+3 r

Passo 1

Beleza, aqui a gente quer achar a função de transferência
G(s)=C(s)R(s)
a partir da equação diferencial
d^3 cd t^3 + 3d^2 cd t^2 + 7d cd t + 5c ;=; d^2 rd t^2 + 4d rd t + 3r,
O conteúdo é Transformada de Laplace e definição de função de transferência (assumindo condições iniciais nulas). Vamos usar a regra de que
Ltfracd^n fdt^n = s^nF(s)(com IC zero)

Passo 2

Aplica Laplace em cada termo (e joga fora as condições iniciais, porque na função de transferência a gente supõe tudo zerado):
Lado esquerdo (saída):
$$\mathcal{L}{c’’’(t)} + 3\mathcal{L}{c’’(t)} + 7\mathcal{L}{c’(t)} +5\mathcal{L}{c(t)}
= s^3C(s) + 3s^2C(s) +7sC(s) +5C(s),. $$

Passo 3

Faz o mesmo no lado direito (entrada):
$$\mathcal{L}{r’’(t)} +4\mathcal{L}{r’(t)} +3\mathcal{L}{r(t)}
= s^2R(s) +4sR(s) +3R(s),. $$

Passo 4

Agora junta tudo numa só igualdade em l(s^3 +3s^2 +7s +5r)C(s) = l(s^2 +4s +3r)R(s), :

Passo 5

Isola a razão G(s)=C(s)R(s) = s^2+4s+3s^3+3s^2+7s+5, :

Resposta

boxedG(s) = s^2 + 4s + 3s^3 + 3s^2 + 7s + 5

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