Seja um sistema com a seguinte função de transferência:
G(s)=s(s+4)(s+8)
Obtenha a resposta deste sistema, no tempo: 1) ao degrau unitário, 2) à rampa.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema com função de transferência
G(s)=s(s+4)(s+8)
e pede duas coisas:
1) a resposta ao degrau unitário (ou seja, entrada R(s)=1/s),
2) a resposta à rampa unitária (entrada R(s)=1/s^2).
Conteúdo da matéria: Transformada de Laplace, método de frações parciais e transformada inversa de Laplace. Vamos precisar:
  • Multiplicar G(s) pela entrada R(s) para obter Y(s),
  • Decompor Y(s) em frações parciais,
  • Aplicar a tabela inversa de Laplace para voltar a y(t).

Passo 2

Resposta ao degrau unitário
  1. Monta-se
Y(s)=G(s)cdot1s=s(s+4)(s+8)cdot1s=1(s+4)(s+8)
2) Fazemos frações parciais:
1(s+4)(s+8)=As+4+Bs+8
Multiplicando tudo por (s+4)(s+8):
1=A(s+8)+B(s+4)
- Para s=-4: 1=Acdot4;Rightarrow;A=tfrac14.
- Para s=-8: 1=Bcdot(-4);Rightarrow;B=-tfrac14.
3) Agora a inversa de Laplace:
$$y_{\deg}(t)=\mathcal L^{-1}\Big{\tfrac14\frac1{s+4}-\tfrac14\frac1{s+8}\Big}
=\frac14e{-4t}-\frac14e{-8t}.$$

Passo 3

Resposta à rampa unitária
  1. Monta-se
Y(s)=G(s)cdot1s^2=s(s+4)(s+8)cdot1s^2=1s,(s+4)(s+8)
2) Frações parciais:
1s(s+4)(s+8)=As+Bs+4+Cs+8
Multiplicando por s(s+4)(s+8):
1=A(s+4)(s+8)+B,s(s+8)+C,s(s+4)
- Para s=0: 1=Acdot4cdot8;Rightarrow;A=tfrac132.
- Para s=-4: 1=Bcdot(-4)cdot4;Rightarrow;B=-tfrac116.
- Para s=-8: 1=Ccdot(-8)cdot(-4);Rightarrow;C=tfrac132.
3) Inversa de Laplace:
yramp(t)=132,1;-;116e^-4t;+;132e^-8t

Resposta

Resposta ao degrau unitário:
boxedydeg(t)=14e^-4t-14e^-8t
Resposta à rampa unitária:
boxedyramp(t)=132-116e^-4t+132e^-8t

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