Obtenha a função de transferência
e a sua respectiva sequência temporal
das seguintes equações a diferenças:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar a função de transferência
e a sequência temporal
a partir de uma equação às diferenças. A matéria envolvida aqui é Sistemas Dinâmicos e Transformadas de Z, e vamos precisar aplicar a transformada de Z para achar a função de transferência e depois determinar a resposta ao impulso.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Z na equação às diferenças dada:
A transformada de Z de
é
, e para
, usamos a propriedade de atraso, que multiplica por
. Aplicando isso para todos os termos:
Passo 3
Agora, vamos juntar os termos que têm
e os que têm
:
Para achar
, isolamos
:
Passo 4
Podemos simplificar a função de transferência eliminando os termos negativos de
. Multiplicamos o numerador e o denominador por
:
Passo 5
Agora, para encontrar a sequência temporal
, que é a resposta ao impulso, precisamos calcular a transformada inversa de
. Podemos fazer isso decompondo
em frações parciais ou expandindo em série de potências. Para simplificar, vamos expandir em série de potências até obter alguns termos da sequência.
Resposta
A função de transferência é
e a sequência temporal
é dada por:
(Nota: A sequência temporal
pode ser calculada expandindo
em série de potências para obter os coeficientes correspondentes a cada
.)