Obtenha o sinal
através da transformada
inversa de
:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o sinal
usando a transformada
inversa de
. Isso envolve conhecimentos de transformada Z, decomposição em frações parciais e séries de potências. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
. Observa que temos um polinômio no numerador e fatores no denominador. Nosso objetivo é decompor essa fração em partes mais simples que a gente consiga aplicar a transformada inversa.
Passo 3
Vamos fatorar e reescrever
:
Passo 4
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. A forma geral para essa decomposição é:
Onde
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 6
Agora, vamos escolher valores de
que simplificam a equação para encontrar
,
e
.
Primeiro, se
:
Passo 7
Agora, se
:
Passo 8
Para encontrar
, podemos expandir e comparar os coeficientes dos termos. Expandindo a equação original:
Agora, substituímos
e
:
Expandindo e agrupando termos, igualamos os coeficientes para encontrar
:
Após os cálculos, obtemos
.
Passo 9
Agora que temos
,
e
, podemos escrever
como:
Passo 10
Para encontrar
, aplicamos a transformada
em cada termo. Sabemos que:
Onde
é a função degrau unitário.
Passo 11
Aplicando a transformada inversa:
Podemos simplificar um pouco mais: