Obtenha o sinal x(k) através da transformada mathscrZ inversa de X(z) :
(a) X(z)=z(0,5 z-1)(z-0,5)(z-0,8)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o sinal usando a transformada inversa de . Isso envolve conhecimentos de transformada Z, decomposição em frações parciais e séries de potências. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de . Observa que temos um polinômio no numerador e fatores no denominador. Nosso objetivo é decompor essa fração em partes mais simples que a gente consiga aplicar a transformada inversa.

Passo 3

Vamos fatorar e reescrever X(z) = z(0,5 z - 1)(z - 0,5)(z - 0,8)^2 = 0,5 z^2 - z(z - 0,5)(z - 0,8)^2 :

Passo 4

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. A forma geral para essa decomposição é:
X(z) = Az - 0,5 + Bz - 0,8 + C(z - 0,8)^2
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados da equação por 0,5 z^2 - z = A(z - 0,8)^2 + B(z - 0,5)(z - 0,8) + C(z - 0,5) para eliminar os denominadores:

Passo 6

Agora, vamos escolher valores de 0,5(0,5)^2 - 0,5 = A(0,5 - 0,8)^2 + 0 + C(0) que simplificam a equação para encontrar 0,125 - 0,5 = A( -0,3)^2 , -0,375 = A(0,09) Rightarrow A = -0,3750,09 = -4,1667 e .
Primeiro, se :

Passo 7

Agora, se 0,5(0,8)^2 - 0,8 = A(0) + B(0,8 - 0,5)(0) + C(0,8 - 0,5) :
0,5(0,64) - 0,8 = C(0,3) Rightarrow 0,32 - 0,8 = 0,3 C Rightarrow -0,48 = 0,3 C Rightarrow C = -1,6

Passo 8

Para encontrar 0,5 z^2 - z = A(z^2 - 1,6 z + 0,64) + B(z^2 - 1,3 z + 0,4) + C(z - 0,5) , podemos expandir e comparar os coeficientes dos termos. Expandindo a equação original:
0,5 z^2 - z = -4,1667(z^2 - 1,6 z + 0,64) + B(z^2 - 1,3 z + 0,4) -1,6(z - 0,5)
Agora, substituímos e :
Expandindo e agrupando termos, igualamos os coeficientes para encontrar :
Após os cálculos, obtemos .

Passo 9

Agora que temos X(z) = -4,1667z - 0,5 + 3,3333z - 0,8 + -1,6(z - 0,8)^2 , e , podemos escrever como:

Passo 10

Para encontrar mathscrZ^-11z - a = a^k u(k) , aplicamos a transformada mathscrZ^-11(z - a)^2 = k a^k-1 u(k) em cada termo. Sabemos que:
Onde é a função degrau unitário.

Passo 11

Aplicando a transformada inversa:
x(k) = -4,1667 cdot (0,5)^k u(k) + 3,3333 cdot (0,8)^k u(k) -1,6 cdot k (0,8)^k-1 u(k)
Podemos simplificar um pouco mais:
x(k) = -4,1667 cdot (0,5)^k + 3,3333 cdot (0,8)^k -1,6 cdot k cdot (0,8)^k-1

Resposta

x(k) = -4,1667 cdot (0,5)^k + 3,3333 cdot (0,8)^k -1,6 cdot k cdot (0,8)^k-1

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