Obtenha a função de transferência dos três sistemas abaixo:
\quad \dot{x}(t)=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -4 & -5\end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1\end{array}\right] u(t) y(t)=\left[\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right] x(t)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de espaço de estados
\dot x(t) = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] -4 & -5\end{pmatrix} x(t) + \begin{pmatrix}0 \\[4pt] 1\end{pmatrix} u(t),
y(t) = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} x(t).
Queremos obter a função de transferência G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}. Vamos usar a fórmula
G(s) = C\,(sI - A)^{-1} B,
já que não há termo direto em u(t).]

Passo 2

Formamos a matriz sI - A. Como
I = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
temos
sI - A = \begin{pmatrix}s & 0 \\[4pt] 0 & s\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] -4 & -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}s & -1 \\[4pt] 4 & s+5\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos o determinante de sI - A:
\det(sI - A) = s\,(s+5) - (-1)\cdot 4 = s^2 + 5s + 4.

Passo 4

Usamos a adjunta para inverter sI - A:
(sI - A)^{-1} = \frac{1}{s^2 + 5s + 4} \begin{pmatrix} s+5 & 1 \\[4pt] -4 & s \end{pmatrix}.]

Passo 5

Multiplicamos (sI - A)^{-1} por B e depois por C:
(sI - A)^{-1}B = \frac{1}{s^2 + 5s + 4} \begin{pmatrix} s+5 & 1 \\[4pt] -4 & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\[4pt] 1\end{pmatrix} = \frac{1}{s^2 + 5s + 4} \begin{pmatrix}1 \\[4pt] s\end{pmatrix}.
Em seguida
G(s) = C\,(sI - A)^{-1}B = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} \frac{1}{s^2 + 5s + 4} \begin{pmatrix}1 \\[4pt] s\end{pmatrix} = \frac{1}{s^2 + 5s + 4}.]

Resposta

G(s) = \frac{1}{s^2 + 5s + 4}.

Exercícios relacionados