QUESTÃO 05:Obtenha a função de transferência \mathrm{G}(\mathrm{s})=\mathrm{Y}(\mathrm{s}) / \mathrm{U}(\mathrm{s}) para o sistema a seguir representado no espaço de estados.
\begin{aligned} {\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1} \\\ \dot{x}_{2} \end{array}\right] } & =\left[\begin{array}{rr} -5 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} 3 \\\\ 1 \end{array}\right] u \\\ y & =\left[\begin{array}{ll} 7 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right] \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá uma representação em espaço de estados e pede a função de transferência \mathrm{G}(s)=Y(s)/U(s). Para isso, vamos usar a fórmula geral
G(s)=C\,(sI-A)^{-1}B + D,
onde
A=\begin{pmatrix}-5 & 0\\[6pt]0 & -1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}3\\[3pt]1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}7 & 0\end{pmatrix},\quad D=0.]

Passo 2

Calcular a matriz (sI-A) e sua inversa. Temos
sI - A = \begin{pmatrix}s+5 & 0\\[3pt]0 & s+1\end{pmatrix},
que é diagonal, logo
(sI-A)^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{1}{s+5} & 0\\[6pt]0 & \frac{1}{s+1}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora multiplicamos C\,(sI-A)^{-1}B. Primeiro,
C\,(sI-A)^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{7}{s+5} & 0\end{pmatrix}.
Em seguida,
G(s) = \begin{pmatrix}\frac{7}{s+5} & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\[3pt]1\end{pmatrix} = \frac{7\cdot 3 + 0\cdot 1}{s+5} = \frac{21}{s+5}.]

Resposta

G(s)=\frac{21}{s+5}.

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