Obtenha a função de transferência dos três sistemas abaixo:
\quad \dot{x}(t)=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -6 & -2\end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 3\end{array}\right] u(t) y(t)=\left[\begin{array}{ll}2 & 0\end{array}\right] x(t)

Passo 1

O enunciado fornece o sistema em espaço de estados
\dot{x}(t)=A\,x(t)+B\,u(t),\quad y(t)=C\,x(t)
com
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\\ -6 & -2\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}0\\\ 3\end{pmatrix},\; C=\begin{pmatrix}2 & 0\end{pmatrix}.
Queremos a função de transferência G(s)=Y(s)/U(s). Para isso, aplicamos a transformada de Laplace supondo condições iniciais nulas e usamos a fórmula
G(s)=C\,(sI-A)^{-1}B.

Passo 2

Aplicando Laplace com x(0)=0, obtemos
sX(s)=AX(s)+BU(s) \quad\Longrightarrow\quad (sI - A)\,X(s)=B\,U(s).

Passo 3

Escrevemos
sI - A =\begin{pmatrix}s & -1\\\ 6 & s+2\end{pmatrix},
e calculamos o determinante
\det(sI-A) = s(s+2)-(-1)\cdot6 = s^2+2s+6.

Passo 4

A inversa de sI-A é
(sI - A)^{-1} =\frac{1}{s^2+2s+6} \begin{pmatrix}s+2 & 1\\\ -6 & s\end{pmatrix}.

Passo 5

Agora calculamos
(sI-A)^{-1}B =\frac{1}{s^2+2s+6} \begin{pmatrix}s+2 & 1\\\ -6 & s\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 3\end{pmatrix} =\frac{1}{s^2+2s+6} \begin{pmatrix}3\\\ 3s\end{pmatrix},
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G(s) =C\,(sI-A)^{-1}B =[2\;\;0]\, \frac{1}{s^2+2s+6} \begin{pmatrix}3\\\ 3s\end{pmatrix} =\frac{6}{s^2+2s+6}.

Resposta

G(s)=\frac{6}{s^2+2s+6}.

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