PROBLEMA 3

Considere o filtro digital caracterizado pela seguinte função de transferência \mathrm{H}(\mathrm{z}) :
H(z)=\frac{-2.05 z^{-1}+2}{z^{-2}-2.05 z^{-1}+1}
Represente a estrutura desse filtro nas formas DIRETA, CANÔNICA e PARALELA. Determine sua equação de diferenças.

Passo 1

O enunciado dá o filtro digital com função de transferência
H(z)=\frac{-2.05\,z^{-1}+2}{z^{-2}-2.05\,z^{-1}+1}
e pede (i) a equação de diferenças e (ii) as estruturas em forma direta, canônica e paralela.
Conteúdo: realização de filtros IIR a partir de H(z), diferença de equações, decomposição em frações parciais.

Passo 2

Para achar a equação de diferenças, escrevemos
H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{2-2.05\,z^{-1}}{1-2.05\,z^{-1}+z^{-2}}.
Multiplicando em cruz:
Y(z)\bigl(1-2.05\,z^{-1}+z^{-2}\bigr)=X(z)\bigl(2-2.05\,z^{-1}\bigr).
Voltando ao domínio do tempo, usamos
z^{-1}Y(z)\leftrightarrow y[n-1],\quad z^{-2}Y(z)\leftrightarrow y[n-2]
e obtemos
y[n]-2.05\,y[n-1]+y[n-2]=2\,x[n]-2.05\,x[n-1].
Isolando y[n]:
\boxed{y[n]=2.05\,y[n-1]-y[n-2]+2\,x[n]-2.05\,x[n-1].}

Passo 3

Estrutura DIRETA (forma I)
\bullet Feedforward com coeficientes b_0=2, b_1=-2.05, b_2=0 sobre atrasos de x[n].
\bullet Feedback com coeficientes \alpha_1=2.05, \alpha_2=-1 sobre atrasos de y[n].
Em diagrama de blocos: duas linhas de atraso para x, duas para y, somadores e multiplicadores com esses coeficientes.

Passo 4

Estrutura CANÔNICA (forma II)
Usamos estados internos mínimos. Defina
w[n]=x[n]+2.05\,w[n-1}-w[n-2],
então a saída é
y[n]=2\,w[n]-2.05\,w[n-1].
Aqui há só duas unidades de atraso compartilhadas por feedforward e feedback.

Passo 5

Estrutura PARALELA por frações parciais
O denominador fatoriza-se como
1-2.05\,z^{-1}+z^{-2}=(1-1.25\,z^{-1})(1-0.8\,z^{-1}).
Fazendo
\frac{2-2.05\,z^{-1}}{(1-1.25\,z^{-1})(1-0.8\,z^{-1})} =\frac{A}{1-1.25\,z^{-1}}+\frac{B}{1-0.8\,z^{-1}},
acha-se A=1, B=1. Logo
H(z)=\frac{1}{1-1.25\,z^{-1}}+\frac{1}{1-0.8\,z^{-1}}.
Cada ramo é um polo simples:
ramo 1: y_1[n]=1.25\,y_1[n-1]+x[n],
ramo 2: y_2[n]=0.8\,y_2[n-1]+x[n],
e y[n]=y_1[n]+y_2[n].

Resposta

Equação de diferenças:
y[n]=2.05\,y[n-1]-y[n-2]+2\,x[n]-2.05\,x[n-1].
– Estrutura DIRETA: forma I com b_0=2,\;b_1=-2.05,\;b_2=0 e \alpha_1=2.05,\;\alpha_2=-1.
– Estrutura CANÔNICA: forma II com
w[n]=x[n]+2.05\,w[n-1}-w[n-2],\quad y[n]=2\,w[n]-2.05\,w[n-1].
– Estrutura PARALELA:
H(z)=\frac{1}{1-1.25\,z^{-1}}+\frac{1}{1-0.8\,z^{-1}},
com y[n]=y_1[n]+y_2[n] e
\,y_1[n]=1.25\,y_1[n-1]+x[n],\;y_2[n]=0.8\,y_2[n-1]+x[n].

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