Questão 1 - Calcule a Transformada de Fourier em Tempo Discreto para as sequências a seguir
x[n]=\operatorname{sen}[3 \pi n / 10];

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Fourier em Tempo Discreto (DTFT) de
x[n]=\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{3\pi}{10}n\bigr).
Para resolver, vamos usar a definição da DTFT
X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\,e^{-j\omega n},
a propriedade de linearidade e a transformada de uma exponencial complexa, que gera impulsos em frequência.

Passo 2

Primeiro, expressamos o seno como combinação de exponenciais complexas:
\operatorname{sen}\!(\Omega_{0}n) =\frac{1}{2j}\Bigl(e^{j\Omega_{0}n}-e^{-j\Omega_{0}n}\Bigr),
onde \Omega_{0}=\tfrac{3\pi}{10}. Logo
x[n] =\frac{1}{2j}\Bigl(e^{j\Omega_{0}n}-e^{-j\Omega_{0}n}\Bigr).

Passo 3

Sabemos que a DTFT de e^{j\Omega_{0}n} é
\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{j\Omega_{0}n}e^{-j\omega n} =2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\bigl(\omega-\Omega_{0}-2\pi k\bigr).
De modo análogo, a DTFT de e^{-j\Omega_{0}n} é
2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\bigl(\omega+\Omega_{0}-2\pi k\bigr).

Passo 4

Pela linearidade, substituímos em X(e^{j\omega}):
X(e^{j\omega}) =\frac{1}{2j}\Bigl[ 2\pi\sum_{k}\delta(\omega-\Omega_{0}-2\pi k) -2\pi\sum_{k}\delta(\omega+\Omega_{0}-2\pi k) \Bigr].
Fatorando 2\pi/(2j)=\pi/j, obtemos a forma final.

Resposta

X(e^{j\omega}) =\frac{\pi}{j}\Biggl[ \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\Bigl(\omega-\tfrac{3\pi}{10}-2\pi k\Bigr) -\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\Bigl(\omega+\tfrac{3\pi}{10}-2\pi k\Bigr) \Biggr].

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