Obtenha
\int \frac{3 y^{2}+2 y-1}{\sqrt{y}} d y
e tire a prova real, derivando o resultado encontrado.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pede calcular a integral indefinida
\int \frac{3 y^{2}+2 y-1}{\sqrt{y}}\,dy
e “tirar a prova real”, ou seja, verificar a resposta derivando o resultado encontrado.
  • Informação importante sobre domínio: como aparece \sqrt{y} no denominador, trabalha-se naturalmente com y>0 (para evitar divisão por zero ou raiz de número negativo).

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar a raiz em potências para facilitar a integração. Lembre que
\sqrt{y}=y^{1/2}.
Dividindo cada termo do numerador por y^{1/2} obtemos
\frac{3 y^{2}+2 y-1}{\sqrt{y}} = \frac{3y^{2}}{y^{1/2}}+\frac{2y}{y^{1/2}}-\frac{1}{y^{1/2}}.
Usando a regra de potências y^{a}/y^{b}=y^{a-b}, cada termo vira:
\frac{3y^{2}}{y^{1/2}}=3y^{2-\tfrac{1}{2}}=3y^{3/2},
\frac{2y}{y^{1/2}}=2y^{1-\tfrac{1}{2}}=2y^{1/2},
\frac{1}{y^{1/2}}=y^{-1/2}.
Portanto o integrando fica
3y^{3/2}+2y^{1/2}-y^{-1/2}.

Passo 3

Relembrando a regra que vamos usar para integrar potências: para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C,
onde n é o expoente e C é a constante de integração. Também usamos linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral.
Exemplo rápido (para fixar): \int y^{2}\,dy=\dfrac{y^{3}}{3}+C.

Passo 4

Aplicando a regra termo a termo. Primeiro termo: \int 3y^{3/2}\,dy.
Aqui n=\tfrac{3}{2}. Então
\int 3y^{3/2}\,dy =3\cdot\frac{y^{(3/2)+1}}{(3/2)+1} =3\cdot\frac{y^{5/2}}{5/2}.
Dividindo por 5/2 é multiplicar por 2/5, portanto
\int 3y^{3/2}\,dy=\frac{6}{5}y^{5/2}.

Passo 5

Segundo termo: \int 2y^{1/2}\,dy. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int 2y^{1/2}\,dy =2\cdot\frac{y^{(1/2)+1}}{(1/2)+1} =2\cdot\frac{y^{3/2}}{3/2} =2\cdot\frac{2}{3}y^{3/2} =\frac{4}{3}y^{3/2}.
Terceiro termo: \int -y^{-1/2}\,dy. Aqui n=-\tfrac{1}{2}, então
\int -y^{-1/2}\,dy =-\frac{y^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} =-\frac{y^{1/2}}{1/2} =-2y^{1/2}.

Passo 6

Somando as três integrais (e acrescentando a constante de integração C) obtemos a primitiva:
F(y)=\frac{6}{5}y^{5/2}+\frac{4}{3}y^{3/2}-2y^{1/2}+C.
(Se preferir escrever com raiz quadrada em vez de potências fracionárias, lembrar que y^{1/2}=\sqrt{y}, y^{3/2}=y\sqrt{y} e y^{5/2}=y^{2}\sqrt{y}. Assim uma forma alternativa é
F(y)=\frac{6}{5}y^{2}\sqrt{y}+\frac{4}{3}y\sqrt{y}-2\sqrt{y}+C.
)

Passo 7

Tirar a prova real: derivar F(y) e verificar que volta ao integrando. Derivadas termo a termo usam a regra \dfrac{d}{dy}(a y^{n}) = a n y^{n-1}.
Derivando F(y)=\dfrac{6}{5}y^{5/2}+\dfrac{4}{3}y^{3/2}-2y^{1/2}+C:
Primeiro termo:
\frac{d}{dy}\!\left(\frac{6}{5}y^{5/2}\right) =\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{2}y^{5/2-1} =3y^{3/2}.
Segundo termo:
\frac{d}{dy}\!\left(\frac{4}{3}y^{3/2}\right) =\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}y^{3/2-1} =2y^{1/2}.
Terceiro termo:
\frac{d}{dy}\!\left(-2y^{1/2}\right) =-2\cdot\frac{1}{2}y^{1/2-1} =-y^{-1/2}.
Somando:
F'(y)=3y^{3/2}+2y^{1/2}-y^{-1/2}.
Voltando à forma com raiz,
F'(y)=\frac{3y^{2}+2y-1}{\sqrt{y}},
que é exatamente o integrando inicial. Portanto a primitiva F está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{6}{5}y^{5/2}+\frac{4}{3}y^{3/2}-2y^{1/2}+C

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