Obtenha
e tire a prova real, derivando o resultado encontrado.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- Pede calcular a integral indefinida
e “tirar a prova real”, ou seja, verificar a resposta derivando o resultado encontrado.
- Informação importante sobre domínio: como aparece
no denominador, trabalha-se naturalmente com (para evitar divisão por zero ou raiz de número negativo).
Passo 2
Primeiro passo prático: transformar a raiz em potências para facilitar a integração. Lembre que
Dividindo cada termo do numerador por
obtemos
Usando a regra de potências
, cada termo vira:
Portanto o integrando fica
Passo 3
Relembrando a regra que vamos usar para integrar potências: para
,
onde
é o expoente e
é a constante de integração. Também usamos linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral.
Exemplo rápido (para fixar):
.
Passo 4
Aplicando a regra termo a termo. Primeiro termo:
.
Aqui
. Então
Dividindo por
é multiplicar por
, portanto
Passo 5
Segundo termo:
. Aqui
, então
Terceiro termo:
. Aqui
, então
Passo 6
Somando as três integrais (e acrescentando a constante de integração
) obtemos a primitiva:
(Se preferir escrever com raiz quadrada em vez de potências fracionárias, lembrar que
,
e
. Assim uma forma alternativa é
)
Passo 7
Tirar a prova real: derivar
e verificar que volta ao integrando. Derivadas termo a termo usam a regra
.
Derivando
:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Somando:
Voltando à forma com raiz,
que é exatamente o integrando inicial. Portanto a primitiva
está correta.