1-8 Estes exercícios dizem respeito a funções de duas variáveis.
Sejam f(x, y)=x+3 x^{2} y^{2}, x(t)=t^{2} e y(t)=t^{3}. Determine
f(x(0), y(0))

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x,y)=x+3x^{2}y^{2}, x(t)=t^{2} e y(t)=t^{3}.
Pede-se calcular f(x(0),y(0)), ou seja, avaliar a função f nas imagens de t=0 pelas funções x(t) e y(t). Vou listar as informações relevantes:
  • A função composta a avaliar é f em (x(0),y(0)).
  • As definições que preciso usar são x(0)=0^{2} e y(0)=0^{3}.
    Não vou ainda efetuar cálculos; apenas organizei o que o problema pede e os dados disponíveis.

Passo 2

Calcular x(0). Usando x(t)=t^{2}, substitui-se t=0:
x(0)=0^{2}.
Agora lembrando a propriedade de potências: 0^{2}=0 (zero ao quadrado continua zero). Portanto
x(0)=0.

Passo 3

Calcular y(0). Usando y(t)=t^{3}, substitui-se t=0:
y(0)=0^{3}.
Pela mesma razão, 0^{3}=0. Logo
y(0)=0.

Passo 4

Explicar o que significa f(x(0),y(0)) e como calcular: é simplesmente substituir em f(x,y) as coordenadas x e y pelos valores numéricos x(0) e y(0) que já encontramos. Ou seja, fazemos
f(x(0),y(0))=f\bigl(0,0\bigr).
Substituindo na fórmula de f:
f(0,0)=0+3\cdot 0^{2}\cdot 0^{2}.
Aqui usei a mesma regra de potências e a propriedade distributiva da multiplicação.

Passo 5

Simplificar a expressão: 0^{2}=0, então 0^{2}\cdot 0^{2}=0\cdot 0=0. Multiplicando por 3 continua 0. Assim
f(0,0)=0+3\cdot 0 =0.
Portanto o resultado final é 0.

Resposta

0

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