Obtenha as integrais indefinidas a seguir:
\int\left(\frac{2}{x^{3}}+\frac{3}{x^{2}}+\frac{4}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(\frac{2}{x^{3}}+\frac{3}{x^{2}}+\frac{4}{x}\Bigr)\,dx.
Este exercício usa integração termo a termo e as regras de potências e de logaritmo para funções do tipo x^{n} e x^{-1}.

Passo 2

Reescrevemos cada fração como potência de x:
\frac{2}{x^{3}} = 2\,x^{-3},\quad \frac{3}{x^{2}} = 3\,x^{-2},\quad \frac{4}{x} = 4\,x^{-1}.
Logo a integral fica
\int\Bigl(2\,x^{-3} + 3\,x^{-2} + 4\,x^{-1}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos o termo 2\,x^{-3} usando a regra \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1):
\int 2\,x^{-3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{-2}}{-2} = -\,x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Integramos o termo 3\,x^{-2} pela mesma regra (com n=-2):
\int 3\,x^{-2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{-1}}{-1} = -\,3\,x^{-1} = -\frac{3}{x}.

Passo 5

Para o termo 4\,x^{-1} usamos a regra \int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert:
\int 4\,x^{-1}\,dx = 4\,\ln\lvert x\rvert.

Passo 6

Somando todas as partes e acrescentando a constante de integração C, obtemos
-\frac{1}{x^{2}} \;-\;\frac{3}{x} \;+\;4\,\ln\lvert x\rvert \;+\;C.

Resposta

-\frac{1}{x^{2}} \;-\;\frac{3}{x} \;+\;4\,\ln\lvert x\rvert + C.

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