Obtenha a inversa da função:
. Qual é o domínio da função inversa?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar a inversa da função
. - Determinar o domínio da função inversa.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função dada é
. - Implícito pela expressão,
não está definida em (pois dividir por zero não faz sentido). Portanto o domínio natural de é . - Precisaremos também da ideia de que o domínio da função inversa corresponde ao conjunto de valores que
atinge (ou seja, a imagem/contradomínio efetivo de ).
Passo 2
O que significa achar a inversa de uma função, de modo prático?
- Se
é invertível, a inversa é a função que “desfaz” : para todo no domínio adequado vale e . - Procedimento padrão para encontrar
: - Escrever
. - Trocar
por e por (isso reflete a troca domínio ↔ imagem). - Resolver a equação obtida para
; a expressão resultante em função de é .
- Escrever
- Atenção aos valores proibidos: ao resolver, devemos acompanhar quais valores são excluídos (por exemplo
aqui).
Passo 3
Aplicando o procedimento à função dada:
- Começo escrevendo
. - Troco
por e por , obtendo
- Agora resolvo essa equação para
. Multiplico ambos os lados por (lembrando que não pode ser zero nesse passo) e depois divido por . Mais direto: inverter ambos os lados dá
com a condição
(pois a igualdade
só faz sentido para
).
Passo 4
Interpretação do resultado algébrico:
- Encontramos que a expressão para
é a mesma de : . - Isso significa que
é uma involução: aplicar duas vezes volta ao valor inicial. Verificação rápida:
para todo
. Assim a fórmula está correta.
Passo 5
Determinar o domínio de
:
- Regra geral: o domínio de
é a imagem (conjunto de valores atingidos) de . - Qual é a imagem de
com ? Note que nunca vale : não existe tal que . Por outro lado, para qualquer número real existe que produz esse . Logo a imagem de é . - Portanto o domínio de
é . Em palavras: o inverso está definido para todos os reais exceto .
Passo 6
Resumo intuitivo e exemplos fáceis:
- A função
é sua própria inversa. Isso é simples de lembrar: inverter um número duas vezes dá o número original. - Exemplos:
-
. -
.
-
- Lembre-se de que
está sempre fora do domínio (tanto de quanto de ).