Obtenha a inversa da função: f(x)=\frac{1}{x}. Qual é o domínio da função inversa?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar a inversa da função f(x)=\frac{1}{x}.
  • Determinar o domínio da função inversa.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função dada é f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Implícito pela expressão, f não está definida em x=0 (pois dividir por zero não faz sentido). Portanto o domínio natural de f é \mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • Precisaremos também da ideia de que o domínio da função inversa corresponde ao conjunto de valores que f atinge (ou seja, a imagem/contradomínio efetivo de f).

Passo 2

O que significa achar a inversa de uma função, de modo prático?
  • Se f é invertível, a inversa f^{-1} é a função que “desfaz” f: para todo x no domínio adequado vale f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x e f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x.
  • Procedimento padrão para encontrar f^{-1}:
    1. Escrever y=f(x).
    2. Trocar x por y e y por x (isso reflete a troca domínio ↔ imagem).
    3. Resolver a equação obtida para y; a expressão resultante em função de x é f^{-1}(x).
  • Atenção aos valores proibidos: ao resolver, devemos acompanhar quais valores são excluídos (por exemplo 0 aqui).

Passo 3

Aplicando o procedimento à função dada:
  • Começo escrevendo y=\dfrac{1}{x}.
  • Troco x por y e y por x, obtendo
x=\frac{1}{y}.
  • Agora resolvo essa equação para y. Multiplico ambos os lados por y (lembrando que y não pode ser zero nesse passo) e depois divido por x. Mais direto: inverter ambos os lados dá
y=\frac{1}{x},
com a condição x\neq 0 (pois a igualdade x=\frac{1}{y} só faz sentido para x\neq 0).

Passo 4

Interpretação do resultado algébrico:
  • Encontramos que a expressão para f^{-1} é a mesma de f: f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Isso significa que f é uma involução: aplicar f duas vezes volta ao valor inicial. Verificação rápida:
f\bigl(f(x)\bigr)=f\!\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{\tfrac{1}{x}}=x,
para todo x\neq 0. Assim a fórmula está correta.

Passo 5

Determinar o domínio de f^{-1}:
  • Regra geral: o domínio de f^{-1} é a imagem (conjunto de valores atingidos) de f.
  • Qual é a imagem de f(x)=\dfrac{1}{x} com x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}? Note que \dfrac{1}{x} nunca vale 0: não existe x tal que \dfrac{1}{x}=0. Por outro lado, para qualquer número real y\neq 0 existe x=\dfrac{1}{y} que produz esse y. Logo a imagem de f é \mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • Portanto o domínio de f^{-1} é \mathbb{R}\setminus\{0\}. Em palavras: o inverso está definido para todos os reais exceto 0.

Passo 6

Resumo intuitivo e exemplos fáceis:
  • A função f(x)=\dfrac{1}{x} é sua própria inversa. Isso é simples de lembrar: inverter um número duas vezes dá o número original.
  • Exemplos:
    • f^{-1}(2)=\dfrac{1}{2}.
    • f^{-1}\!\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-3.
  • Lembre-se de que 0 está sempre fora do domínio (tanto de f quanto de f^{-1}).

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}
\mathrm{Dom}\bigl(f^{-1}\bigr)=\mathbb{R}\setminus\{0\}

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