Determine se cada integral é convergente ou divergente.
\int_{1 / 2}^{2} \frac{d x}{x(\ln x)^{1 / 5}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{1/2}^{2}\frac{dx}{x(\ln x)^{1/5}}
é convergente ou divergente. Informações fornecidas:
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{1}{x(\ln x)^{1/5}}.
  • O intervalo de integração é \left[\tfrac{1}{2},2\right].
  • Há um ponto problemático dentro do intervalo: x=1, porque \ln 1=0 e isso faz o denominador zero (singularidade interior). Portanto a integral é imprópria e deve ser tratada como o limite de integrais à esquerda e à direita de 1.

Passo 2

Definição prática da integral imprópria: dividimos no ponto singular x=1 e definimos
\int_{1/2}^{2}\frac{dx}{x(\ln x)^{1/5}} = \lim_{\epsilon\to0^+}\left(\int_{1/2}^{1-\epsilon}\frac{dx}{x(\ln x)^{1/5}} + \int_{1+\epsilon}^{2}\frac{dx}{x(\ln x)^{1/5}}\right).
A integral converge se e somente se ambos os limites (à esquerda e à direita) existem e são finitos. Vamos estudar cada um usando uma mudança de variável conveniente.

Passo 3

Mudança de variável: seja \;t=\ln x\;. Então \;dt=\dfrac{dx}{x}\;. Ao aplicar essa mudança, os limites transformam-se assim:
  • quando x=\tfrac{1}{2}, t=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2;
  • quando x=1, t=0;
  • quando x=2, t=\ln 2.
Com isso, a integral se torna
\int_{1/2}^{2}\frac{dx}{x(\ln x)^{1/5}} = \int_{-\ln 2}^{\ln 2} t^{-1/5}\,dt,
porque \dfrac{dx}{x} = dt e (\ln x)^{1/5}=t^{1/5}, logo \dfrac{1}{x(\ln x)^{1/5}}\,dx = t^{-1/5}\,dt.
Observação sobre sinais: para t<0 (ou seja x<1), t^{1/5} é o quinto radical de um número negativo — como o expoente tem denominador ímpar, isso é um número real negativo — e t^{-1/5} é também real (negativo). A transformação é válida e mantém a natureza da singularidade em t=0.

Passo 4

Agora analisamos a integral em t com a singularidade em t=0:
\int_{-\ln 2}^{\ln 2} t^{-1/5}\,dt = \lim_{\epsilon\to0^+}\left(\int_{-\ln 2}^{-\epsilon} t^{-1/5}\,dt + \int_{\epsilon}^{\ln 2} t^{-1/5}\,dt\right).
Calculamos a primitiva de t^{-1/5}. Uma primitiva é
\int t^{-1/5}\,dt = \frac{t^{4/5}}{4/5} = \frac{5}{4}\,t^{4/5} + C.
Essa expressão é válida para t>0 e também para t<0 (pois t^{4/5}=(t^{1/5})^4 é positivo e finito para t\neq0). Logo podemos avaliar os limites laterais usando essa primitiva.

Passo 5

Avaliação dos limites (cada parte é finita):
  • Para a parte direita,
\int_{0}^{\ln 2} t^{-1/5}\,dt = \lim_{\epsilon\to0^+}\left[\frac{5}{4}t^{4/5}\right]_{t=\epsilon}^{t=\ln 2} = \frac{5}{4}(\ln 2)^{4/5} - \lim_{\epsilon\to0^+}\frac{5}{4}\epsilon^{4/5} = \frac{5}{4}(\ln 2)^{4/5}.
  • Para a parte esquerda,
\int_{-\ln 2}^{0} t^{-1/5}\,dt = \lim_{\epsilon\to0^+}\left[\frac{5}{4}t^{4/5}\right]_{t=-\ln 2}^{t=-\epsilon} = \lim_{\epsilon\to0^+}\left(\frac{5}{4}(-\epsilon)^{4/5} - \frac{5}{4}(-\ln 2)^{4/5}\right).
Como (-\epsilon)^{4/5}=\epsilon^{4/5}\to0 e (- \ln 2)^{4/5}=(\ln 2)^{4/5}, obtemos
\int_{-\ln 2}^{0} t^{-1/5}\,dt = 0 - \frac{5}{4}(\ln 2)^{4/5} = -\frac{5}{4}(\ln 2)^{4/5}.

Passo 6

Somando as duas partes:
\int_{-\ln 2}^{\ln 2} t^{-1/5}\,dt = -\frac{5}{4}(\ln 2)^{4/5} + \frac{5}{4}(\ln 2)^{4/5} = 0.
Importante: cada integral lateral é finita, portanto a integral imprópria converge. Como cálculo extra, o valor da integral é 0 (isso ocorre porque, após a substituição, integrando uma função ímpar em um intervalo simétrico [- \ln 2,\ln 2], o resultado é zero).

Resposta

Convergente

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