Determine se cada integral é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informações fornecidas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
. - Há um ponto problemático dentro do intervalo:
, porque e isso faz o denominador zero (singularidade interior). Portanto a integral é imprópria e deve ser tratada como o limite de integrais à esquerda e à direita de .
Passo 2
Definição prática da integral imprópria: dividimos no ponto singular
e definimos
A integral converge se e somente se ambos os limites (à esquerda e à direita) existem e são finitos. Vamos estudar cada um usando uma mudança de variável conveniente.
Passo 3
Mudança de variável: seja
. Então
. Ao aplicar essa mudança, os limites transformam-se assim:
- quando
, ; - quando
, ; - quando
, .
Com isso, a integral se torna
porque
e
, logo
.
Observação sobre sinais: para
(ou seja
),
é o quinto radical de um número negativo — como o expoente tem denominador ímpar, isso é um número real negativo — e
é também real (negativo). A transformação é válida e mantém a natureza da singularidade em
.
Passo 4
Agora analisamos a integral em
com a singularidade em
:
Calculamos a primitiva de
. Uma primitiva é
Essa expressão é válida para
e também para
(pois
é positivo e finito para
). Logo podemos avaliar os limites laterais usando essa primitiva.
Passo 5
Avaliação dos limites (cada parte é finita):
- Para a parte direita,
- Para a parte esquerda,
Como
e
, obtemos
Passo 6
Somando as duas partes:
Importante: cada integral lateral é finita, portanto a integral imprópria converge. Como cálculo extra, o valor da integral é
(isso ocorre porque, após a substituição, integrando uma função ímpar em um intervalo simétrico
, o resultado é zero).
Resposta
Convergente