Determine se cada integral é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede para determinar se essa integral é convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas:
- O intervalo de integração é
. - A função integranda é
. - Há um potencial problema em
porque o denominador tende a quando ; por isso a integral é imprópria no extremo esquerdo.
A próxima etapa é analisar o comportamento perto dee decidir se a integral imprópria converge.
Passo 2
Uma mudança de variável simples resolve muito bem esse tipo de expressão. Façamos a substituição
Vamos transformar tudo:
- Se
então . - Diferenciando,
. - Quando
varia de a , varia de a também.
Agora substituímos na integral:
Passo 3
Com a transformação, a integral original se reduz a uma integral bem comportada:
A função
é contínua em
, portanto a integral à direita é uma integral de Riemann usual e é finita. Calculando:
Logo a integral impropria converge e seu valor é
.
Passo 4
Para fixar a intuição: podemos também analisar o comportamento local em
. Usando a expansão em série de Taylor de
em
:
Dividindo por
obtemos
ou seja, perto de
a integranda se comporta como
. Lembrando o teste do p-integral: a integral
converge se, e somente se,
. Aqui
, portanto a singularidade não é forte o bastante para causar divergência — o comportamento local confirma que a integral converge. Esse raciocínio complementa e confirma a mudança de variável que deu o valor exato.
Passo 5
Justificação formal da validade da mudança de variável para a integral imprópria: pode-se definir a integral imprópria como limite
Fazendo a substituição
em
obtém-se
. Tomando
é legítimo passar o limite e obter
, que é finito. Portanto a manipulação é rigorosa.
Resposta
Convergente; o valor da integral é
.