Determine se cada integral é convergente ou divergente.
\int_{0}^{1} \frac{\cos \left(x^{1 / 3}\right)}{x^{2 / 3}} d x

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int_{0}^{1} \frac{\cos\!\bigl(x^{1/3}\bigr)}{x^{2/3}}\,dx
e pede para determinar se essa integral é convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas:
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • A função integranda é \dfrac{\cos\!\bigl(x^{1/3}\bigr)}{x^{2/3}}.
  • Há um potencial problema em x=0 porque o denominador x^{2/3} tende a 0 quando x\to0^+; por isso a integral é imprópria no extremo esquerdo.
    A próxima etapa é analisar o comportamento perto de x=0 e decidir se a integral imprópria converge.

Passo 2

Uma mudança de variável simples resolve muito bem esse tipo de expressão. Façamos a substituição
t = x^{1/3}.
Vamos transformar tudo:
  • Se t = x^{1/3} então x = t^{3}.
  • Diferenciando, dx = 3t^{2}\,dt.
  • Quando x varia de 0 a 1, t varia de 0 a 1 também.
Agora substituímos na integral:
\frac{\cos\!\bigl(x^{1/3}\bigr)}{x^{2/3}}\,dx = \frac{\cos(t)}{(t^{3})^{2/3}} \cdot 3t^{2}\,dt = \frac{\cos(t)}{t^{2}} \cdot 3t^{2}\,dt = 3\cos(t)\,dt.

Passo 3

Com a transformação, a integral original se reduz a uma integral bem comportada:
\int_{0}^{1} \frac{\cos\!\bigl(x^{1/3}\bigr)}{x^{2/3}}\,dx = 3\int_{0}^{1} \cos(t)\,dt.
A função \cos(t) é contínua em [0,1], portanto a integral à direita é uma integral de Riemann usual e é finita. Calculando:
3\int_{0}^{1} \cos(t)\,dt = 3\bigl[\sin(t)\bigr]_{0}^{1} = 3\sin(1).
Logo a integral impropria converge e seu valor é 3\sin(1).

Passo 4

Para fixar a intuição: podemos também analisar o comportamento local em x\to0^+. Usando a expansão em série de Taylor de \cos em 0:
\cos\!\bigl(x^{1/3}\bigr)=1-\frac{(x^{1/3})^{2}}{2}+\cdots =1-\frac{x^{2/3}}{2}+\cdots.
Dividindo por x^{2/3} obtemos
\frac{\cos\!\bigl(x^{1/3}\bigr)}{x^{2/3}} =\frac{1}{x^{2/3}}-\frac{1}{2}+\cdots,
ou seja, perto de 0 a integranda se comporta como \sim x^{-2/3}. Lembrando o teste do p-integral: a integral \int_{0}^{a} x^{-p}\,dx converge se, e somente se, p<1. Aqui p=\tfrac{2}{3}<1, portanto a singularidade não é forte o bastante para causar divergência — o comportamento local confirma que a integral converge. Esse raciocínio complementa e confirma a mudança de variável que deu o valor exato.

Passo 5

Justificação formal da validade da mudança de variável para a integral imprópria: pode-se definir a integral imprópria como limite
\int_{0}^{1}\frac{\cos\!\bigl(x^{1/3}\bigr)}{x^{2/3}}\,dx =\lim_{a\to0^+}\int_{a}^{1}\frac{\cos\!\bigl(x^{1/3}\bigr)}{x^{2/3}}\,dx.
Fazendo a substituição t=x^{1/3} em \int_{a}^{1} obtém-se 3\int_{a^{1/3}}^{1}\cos(t)\,dt. Tomando a\to0^+ é legítimo passar o limite e obter 3\int_{0}^{1}\cos(t)\,dt, que é finito. Portanto a manipulação é rigorosa.

Resposta

Convergente; o valor da integral é 3\sin(1).

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