Obtenha o Laplaciano do escalar \psi=r z \cos \varphi em coordenadas cilindeleas. (16 pontos)

Passo 1

O enunciado nos dá o escalar \psi = r\,z\cos\varphi em coordenadas cilíndricas e pede o Laplaciano \nabla^2\psi. Em coordenadas cilíndricas, a fórmula do Laplaciano de um escalar \psi(r,\varphi,z) é
\nabla^2\psi = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r\,\frac{\partial\psi}{\partial r}\Bigr) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}.

Passo 2

Calculemos o termo radial
\frac{\partial\psi}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}(r\,z\cos\varphi) = z\cos\varphi.
Então
r\,\frac{\partial\psi}{\partial r} = r\,z\cos\varphi, \quad \frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r\,\frac{\partial\psi}{\partial r}\Bigr) = \frac{\partial}{\partial r}(r\,z\cos\varphi) = z\cos\varphi.
Portanto o primeiro termo do Laplaciano é
\frac{1}{r}\,z\cos\varphi = \frac{z\cos\varphi}{r}.

Passo 3

Agora o termo angular
\frac{\partial\psi}{\partial \varphi} = r\,z\,\frac{\partial}{\partial \varphi}(\cos\varphi) = -\,r\,z\sin\varphi,
\frac{\partial^2\psi}{\partial \varphi^2} = \frac{\partial}{\partial \varphi}(-r\,z\sin\varphi) = -\,r\,z\cos\varphi.
Assim o segundo termo é
\frac{1}{r^2}\bigl(-r\,z\cos\varphi\bigr) = -\,\frac{z\cos\varphi}{r}.

Passo 4

Finalmente o termo em z
\frac{\partial\psi}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(r\,z\cos\varphi) = r\cos\varphi, \quad \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z}(r\cos\varphi) = 0.

Passo 5

Somando os três termos do Laplaciano:
\nabla^2\psi = \frac{z\cos\varphi}{r} - \frac{z\cos\varphi}{r} + 0 = 0.

Resposta

\displaystyle \nabla^2\psi = 0.

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