Um cilindro circular reto, de raio R e altura L, está orientado ao longo do eixo z e o centro da sua base inferior coincide com a origem do sistema de coordenadas. Possui uma densidade volumétrica de carga uniforme \rho. Calcule a força elétrica sobre uma carga q na posição z=4 L. ( 18 pontos)

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro de raio R e altura L, carregado com densidade volumétrica uniforme \rho, apoiado entre z=0 e z=L. Queremos a força elétrica sobre uma carga puntiforme q colocada no eixo z em z=4L. Para isso, vamos calcular o campo elétrico produzido pelo cilindro nesse ponto usando a lei de Coulomb em coordenadas cilíndricas e depois multiplicar por q.

Passo 2

Denotando a posição de observação por Z=4L, cada elemento de carga vale \rho\,dV=\rho\,r\,dr\,d\theta\,dz'. Devido à simetria, só sobra a componente ao longo de z. Assim
E_z \;=\;\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{z'=0}^{L} \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{R} \frac{\rho\,(Z - z')\,r\,dr\,d\theta\,dz'}{\bigl(r^2 + (Z - z')^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 3

A integral em \theta 2\pi, ficando
E_z \;=\; \frac{\rho}{2\varepsilon_0} \int_{0}^{L} \int_{0}^{R} \frac{(Z - z')\,r}{\bigl(r^2 + (Z - z')^2\bigr)^{3/2}} \,dr\,dz'.

Passo 4

Usamos o resultado
\int_{0}^{R} \frac{r\,dr}{\bigl(r^2+a^2\bigr)^{3/2}} \;=\; 1 - \frac{a}{\sqrt{a^2+R^2}},
com a=Z - z'. Então
E_z \;=\; \frac{\rho}{2\varepsilon_0} \int_{0}^{L} \Bigl[ 1 \;-\;\frac{Z - z'}{\sqrt{(Z - z')^2+R^2}} \Bigr] dz'.

Passo 5

Separamos a integral:
\int_{0}^{L}1\,dz'=L, \quad \int_{0}^{L}\frac{Z - z'}{\sqrt{(Z - z')^2+R^2}}\,dz' = \sqrt{Z^2+R^2}\;-\;\sqrt{(Z-L)^2+R^2}.
Logo
E_z = \frac{\rho}{2\varepsilon_0} \Bigl[ L \;-\;\bigl(\sqrt{Z^2+R^2}-\sqrt{(Z-L)^2+R^2}\bigr) \Bigr].

Passo 6

Substituindo Z=4L na expressão e lembrando que a força é \vec F=q\,\vec E, obtemos
\vec F = \hat z\;q\;\frac{\rho}{2\varepsilon_0} \Bigl[ L + \sqrt{9L^2+R^2} - \sqrt{16L^2+R^2} \Bigr].

Resposta

\boxed{ \vec F = \hat z\;q\;\frac{\rho}{2\varepsilon_0} \bigl[ L + \sqrt{9L^2+R^2} - \sqrt{16L^2+R^2} \bigr] }.

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