Obtenha a lei de reflexão a partir do princípio de Fermat.
Passo 1
Então, o enunciado pede pra gente “Obter a lei de reflexão a partir do princípio de Fermat”. Isso é Óptica Geométrica, especificamente o Princípio de Fermat, que diz que a luz percorre o caminho que leva o menor (ou estacionário) tempo entre dois pontos.
O que vamos precisar:
Descrever um ponto de origem da luz, um ponto de destino, e um espelho plano.
Escrever o tempo de viagem da luz passando por um ponto genérico de reflexão .
Fazer derivada desse tempo (ou do comprimento de rota) em relação a e igualar a zero.
Reconhecer nessa condição que o ângulo de incidência é igual ao de reflexão.
Passo 2
Vamos definir a geometria para simplificar:
Espelho está sobre o eixo , ou seja, reta .
A luz sai de com .
Reflete em um ponto .
E chega em (aqui pode ser ou , mas vamos supor ).
O tempo de viagem é proporcional ao comprimento do caminho,
então definimos
Pelo Princípio de Fermat, a luz escolhe tal que seja estacionário, isto é
Passo 3
Vamos derivar cada termo:
Derivada de ddx raiz(x-x1)^2 + y1^2 =12l((x-x1)^2+y1^2r)^-12cdot 2(x-x1) =x-x1raiz(x-x1)^2 + y1^2 em relação a ddx raiz(x2-x)^2 + y2^2 =12l((x2-x)^2+y2^2r)^-12cdot 2(x-x2)(-1) =-x2 - xraiz(x2-x)^2 + y2^2 :
Agora reconhecemos essas frações como cossenos dos ângulos que o raio faz com a normal ao espelho. Se o espelho está em costhetai = costhetar Longrightarrow thetai = thetar , a normal é o eixo .
No trecho , o cosseno do ângulo de incidência é çã.
No trecho , o cosseno do ângulo de reflexão é .
A igualdade que encontramos diz
Resposta
A partir do Princípio de Fermat chegamos à lei da reflexão: