Obtenha a lei de reflexão a partir do princípio de Fermat.

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente “Obter a lei de reflexão a partir do princípio de Fermat”. Isso é Óptica Geométrica, especificamente o Princípio de Fermat, que diz que a luz percorre o caminho que leva o menor (ou estacionário) tempo entre dois pontos.
O que vamos precisar:
  • Descrever um ponto de origem da luz, um ponto de destino, e um espelho plano.
  • Escrever o tempo de viagem da luz passando por um ponto genérico de reflexão .
  • Fazer derivada desse tempo (ou do comprimento de rota) em relação a e igualar a zero.
  • Reconhecer nessa condição que o ângulo de incidência é igual ao de reflexão.

Passo 2

Vamos definir a geometria para simplificar:
  • Espelho está sobre o eixo L(x);=;overbraceraiz(x-x1)^2 + y1^2^P1R ;+;overbraceraiz(x2-x)^2 + y2^2^RP2, , ou seja, reta dLdx ;=; 0, .
  • A luz sai de com .
  • Reflete em um ponto .
  • E chega em (aqui pode ser ou , mas vamos supor ).
O tempo de viagem é proporcional ao comprimento do caminho,
então definimos
Pelo Princípio de Fermat, a luz escolhe tal que seja estacionário, isto é

Passo 3

Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de ddx raiz(x-x1)^2 + y1^2 =12l((x-x1)^2+y1^2r)^-12cdot 2(x-x1) =x-x1raiz(x-x1)^2 + y1^2 em relação a ddx raiz(x2-x)^2 + y2^2 =12l((x2-x)^2+y2^2r)^-12cdot 2(x-x2)(-1) =-x2 - xraiz(x2-x)^2 + y2^2 :
x-x1raiz(x-x1)^2 + y1^2 ;-; x2-xraiz(x2-x)^2 + y2^2 ;=;0 Longrightarrow x-x1raiz(x-x1)^2 + y1^2 =x2-xraiz(x2-x)^2 + y2^2
  1. Derivada de :
Somando e igualando a zero:

Passo 4

Agora reconhecemos essas frações como cossenos dos ângulos que o raio faz com a normal ao espelho. Se o espelho está em costhetai = costhetar Longrightarrow thetai = thetar , a normal é o eixo .
  • No trecho , o cosseno do ângulo de incidência é
    çã.
  • No trecho , o cosseno do ângulo de reflexão é
    .
A igualdade que encontramos diz

Resposta

A partir do Princípio de Fermat chegamos à lei da reflexão:
boxedthetaincidência ;=;thetaref<=xão êã

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