Obtenha os limites abaixo, utilizando (sempre que possível) a regra de l’Hôpital:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\operatorname{tg} x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\operatorname{tg}x}{x^{2}}.
Informações que temos imediatamente:
  • Para x\to 0^{+} temos \operatorname{tg}x \to 0 e x^{2}\to 0.
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada \dfrac{0}{0}, o que nos permite tentar aplicar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Lembrete rápido da regra de l’Hôpital (de forma prática): se \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=0 e \displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos infinitos) e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) com g'(x)\neq 0 nessa vizinhança, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite à direita exista (ou seja \pm\infty). Aqui f(x)=\operatorname{tg}x e g(x)=x^{2}. Ambas são diferenciáveis para x próximo de 0 com g'(x)=2x\neq 0 em (0,\delta). Logo podemos aplicar l’Hôpital para x\to0^{+}.

Passo 3

Calcular as derivadas:
  • Derivada de \operatorname{tg}x: usar \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Pela regra do quociente,
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}x=\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
  • Derivada de x^{2} é 2x.
Aplicando l’Hôpital obtemos
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\operatorname{tg}x}{x^{2}} =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{2x}.

Passo 4

Agora avaliamos o novo limite. Quando x\to 0^{+} temos \operatorname{sec}^{2}x\to \operatorname{sec}^{2}0=1. O denominador 2x\to 0^{+}. Então a fração tem numerador tendendo a 1 (valor positivo e finito) e denominador tendendo a 0 pela direita (positivo). Portanto o quociente diverge para +\infty:
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{2x}=+\infty.
Assim o limite pedido também é +\infty.
Observação didática curta: outra maneira de ver rapidinho é usar a equivalência \operatorname{tg}x\sim x quando x\to 0. Então \dfrac{\operatorname{tg}x}{x^{2}}\sim\dfrac{x}{x^{2}}=\dfrac{1}{x}, que tende a +\infty quando x\to 0^{+}. As duas abordagens concordam.

Resposta

+\infty

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