Obtenha os limites abaixo, utilizando (sempre que possível) a regra de l’Hôpital:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações que temos imediatamente:
- Para
temos e . - Portanto a expressão tem a forma indeterminada
, o que nos permite tentar aplicar a regra de l’Hôpital.
Passo 2
Lembrete rápido da regra de l’Hôpital (de forma prática): se
e
(ou ambos infinitos) e
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
) com
nessa vizinhança, então
desde que o limite à direita exista (ou seja
). Aqui
e
. Ambas são diferenciáveis para
próximo de
com
em
. Logo podemos aplicar l’Hôpital para
.
Passo 3
Calcular as derivadas:
- Derivada de
: usar . Pela regra do quociente,
- Derivada de
é .
Aplicando l’Hôpital obtemos
Passo 4
Agora avaliamos o novo limite. Quando
temos
. O denominador
. Então a fração tem numerador tendendo a
(valor positivo e finito) e denominador tendendo a
pela direita (positivo). Portanto o quociente diverge para
:
Assim o limite pedido também é
.
Observação didática curta: outra maneira de ver rapidinho é usar a equivalência
quando
. Então
, que tende a
quando
. As duas abordagens concordam.