Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- Pede-se calcular o limite
. - A expressão é o produto de dois fatores:
e . - O que sabemos sobre cada fator quando
: -
. -
e, como , então .
-
Passo 2
Reescrever a expressão de forma conveniente para análise:
Agora temos a forma
. Ao tomar
, o numerador tende a
e o denominador tende a
. Portanto a expressão original é uma indeterminação do tipo
. Isso nos permite usar uma ferramenta padrão para esse caso (que vou explicar e aplicar a seguir).
Passo 3
Explicando a regra de L’Hôpital (ferramenta que vou usar), de forma didática:
- Se
e são funções diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (ou no infinito) e temos uma indeterminação do tipo ou ao calcular , então — sob condições técnicas de existência das derivadas e do limite das derivadas — vale
quando o limite do lado direito existir (ou for
).
- Intuição simples: quando numerador e denominador crescem muito, olhar as taxas de crescimento (derivadas) às vezes mostra quem cresce mais rápido.
Vou aplicar L’Hôpital repetidas vezes porque o numerador é um polinômio de grau 2 e o denominador é exponencial — normalmente a exponencial vence, e L’Hôpital formaliza isso.
Passo 4
Primeira aplicação de L’Hôpital:
- Tome
e . - Derivadas:
e .
Pelo enunciado do passo anterior,
Aqui ainda temos uma indeterminação
, pois
e
. Então aplicamos L’Hôpital novamente.
Passo 5
Segunda aplicação de L’Hôpital:
- Agora
e . - Derivadas:
e .
Portanto
Agora o numerador é constante
e o denominador
, logo a fração tende a
.
Passo 6
Concluir o limite original:
- Como pelas aplicações de L’Hôpital chegamos a
, segue que
Comentário didático final: isso também ilustra um fato geral útil para a prova — exponenciais crescem mais rápido que polinômios — em particular, para qualquer inteiro
,
que pode ser provado aplicando L’Hôpital
vezes.