Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2} \cdot e^{-x}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(x^{2}\cdot e^{-x}\bigr).
  • A expressão é o produto de dois fatores: \,x^{2}\, e \,e^{-x}\,.
  • O que sabemos sobre cada fator quando x\to+\infty:
    • \,x^{2}\to+\infty.
    • \,e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}} e, como e^{x}\to+\infty, então \,e^{-x}\to0^{+}.

Passo 2

Reescrever a expressão de forma conveniente para análise:
x^{2}\cdot e^{-x}=\frac{x^{2}}{e^{x}}.
Agora temos a forma \dfrac{x^{2}}{e^{x}}. Ao tomar x\to+\infty, o numerador tende a +\infty e o denominador tende a +\infty. Portanto a expressão original é uma indeterminação do tipo \dfrac{\infty}{\infty}. Isso nos permite usar uma ferramenta padrão para esse caso (que vou explicar e aplicar a seguir).

Passo 3

Explicando a regra de L’Hôpital (ferramenta que vou usar), de forma didática:
  • Se f(x) e g(x) são funções diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (ou no infinito) e temos uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty} ao calcular \lim \dfrac{f(x)}{g(x)}, então — sob condições técnicas de existência das derivadas e do limite das derivadas — vale
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite do lado direito existir (ou for \pm\infty).
  • Intuição simples: quando numerador e denominador crescem muito, olhar as taxas de crescimento (derivadas) às vezes mostra quem cresce mais rápido.
Vou aplicar L’Hôpital repetidas vezes porque o numerador é um polinômio de grau 2 e o denominador é exponencial — normalmente a exponencial vence, e L’Hôpital formaliza isso.

Passo 4

Primeira aplicação de L’Hôpital:
  • Tome f(x)=x^{2} e g(x)=e^{x}.
  • Derivadas: f'(x)=2x e g'(x)=e^{x}.
    Pelo enunciado do passo anterior,
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{e^{x}}.
Aqui ainda temos uma indeterminação \dfrac{\infty}{\infty}, pois 2x\to+\infty e e^{x}\to+\infty. Então aplicamos L’Hôpital novamente.

Passo 5

Segunda aplicação de L’Hôpital:
  • Agora f_{1}(x)=2x e g_{1}(x)=e^{x}.
  • Derivadas: f_{1}'(x)=2 e g_{1}'(x)=e^{x}.
    Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^{x}}.
Agora o numerador é constante 2 e o denominador e^{x}\to+\infty, logo a fração tende a 0.

Passo 6

Concluir o limite original:
  • Como pelas aplicações de L’Hôpital chegamos a \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^{x}}=0, segue que
\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^{2}e^{-x}\bigr)=0.
Comentário didático final: isso também ilustra um fato geral útil para a prova — exponenciais crescem mais rápido que polinômios — em particular, para qualquer inteiro n\ge0,
\lim_{x\to+\infty}x^{n}e^{-x}=0,
que pode ser provado aplicando L’Hôpital n vezes.

Resposta

0

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