Obtenha os limites abaixo, utilizando (sempre que possível) a regra de l’Hôpital:
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função do numerador é
. - A função do denominador é
. - O ponto de aproximação é
.
Passo 2
Primeiro vamos testar o que acontece se simplesmente substituirmos
nas funções (teste de forma indeterminada):
Então obtemos a forma
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que devemos usar algum método para resolver a indeterminação (por exemplo, regra de l’Hôpital ou manipulação algébrica).
Passo 3
Vou aplicar a regra de l’Hôpital, porque a forma é
e tanto o numerador quanto o denominador são funções diferenciáveis próximas a
(seno e cosseno são diferenciáveis em todo
).
Enunciado informal da regra de l’Hôpital (condições mínimas que usaremos aqui): se ,
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
) e o limite
existe (ou é
), então
Enunciado informal da regra de l’Hôpital (condições mínimas que usaremos aqui): se
Aqui escolhemos
e
.
Passo 4
Calculamos as derivadas do numerador e do denominador (lembrando as derivadas básicas:
e
):
Passo 5
Aplicando a regra de l’Hôpital, o limite original é igual ao limite das derivadas:
Simplificando os sinais:
Passo 6
Agora avaliamos o limite de
quando
. Como
, temos
Portanto o limite pedido vale
.
Passo 7
(Fica como dica extra — método alternativo sem l’Hôpital, útil na prova.) Podemos também manipular algebricamente:
Ao tomar
,
Essa via confirma o resultado obtido com l’Hôpital.