Obtenha os limites abaixo, utilizando (sempre que possível) a regra de l’Hôpital:
\lim _{x \rightarrow \pi / 2} \frac{1-\operatorname{sen} x}{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite:
\lim_{x \to \pi/2} \frac{1-\sin x}{\cos x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função do numerador é 1-\sin x.
  • A função do denominador é \cos x.
  • O ponto de aproximação é x=\pi/2.

Passo 2

Primeiro vamos testar o que acontece se simplesmente substituirmos x=\pi/2 nas funções (teste de forma indeterminada):
1-\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1-1=0, \qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Então obtemos a forma \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso significa que devemos usar algum método para resolver a indeterminação (por exemplo, regra de l’Hôpital ou manipulação algébrica).

Passo 3

Vou aplicar a regra de l’Hôpital, porque a forma é \dfrac{0}{0} e tanto o numerador quanto o denominador são funções diferenciáveis próximas a x=\pi/2 (seno e cosseno são diferenciáveis em todo \mathbb{R}).
Enunciado informal da regra de l’Hôpital (condições mínimas que usaremos aqui): se f(a)=g(a)=0, f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e o limite \lim_{x\to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui escolhemos f(x)=1-\sin x e g(x)=\cos x.

Passo 4

Calculamos as derivadas do numerador e do denominador (lembrando as derivadas básicas: \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x e \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x):
f'(x)=\frac{d}{dx}(1-\sin x) = -\cos x, \qquad g'(x)=\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x.

Passo 5

Aplicando a regra de l’Hôpital, o limite original é igual ao limite das derivadas:
\lim_{x \to \pi/2} \frac{1-\sin x}{\cos x} = \lim_{x \to \pi/2} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to \pi/2} \frac{-\cos x}{- \sin x}.
Simplificando os sinais:
\frac{-\cos x}{- \sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x.

Passo 6

Agora avaliamos o limite de \cot x quando x\to \pi/2. Como \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}, temos
\lim_{x \to \pi/2} \cot x = \frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{0}{1} = 0.
Portanto o limite pedido vale 0.

Passo 7

(Fica como dica extra — método alternativo sem l’Hôpital, útil na prova.) Podemos também manipular algebricamente:
\frac{1-\sin x}{\cos x} = \frac{(1-\sin x)(1+\sin x)}{\cos x (1+\sin x)} = \frac{1-\sin^2 x}{\cos x (1+\sin x)} = \frac{\cos^2 x}{\cos x (1+\sin x)} = \frac{\cos x}{1+\sin x}.
Ao tomar x\to\pi/2,
\lim_{x\to\pi/2}\frac{\cos x}{1+\sin x} = \frac{0}{1+1}=0.
Essa via confirma o resultado obtido com l’Hôpital.

Resposta

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