Obtenha os limites abaixo, utilizando (sempre que possível) a regra de l’Hôpital:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x}}{x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O numerador é \sqrt{x}, que satisfaz \sqrt{x}\to 0^{+} quando x\to 0^{+}.
  • O denominador é x, que satisfaz x\to 0^{+} quando x\to 0^{+}.
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada \tfrac{0}{0}, o que permite tentar a regra de l’Hôpital (como o enunciado sugere).

Passo 2

Lembrete rápido e didático da regra de l’Hôpital ( versão para 0/0 ):
  • Se \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=0 e \displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=0, e se f e g são diferenciáveis em um intervalo aberto (exceto possivelmente em a) com g'(x)\neq 0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite à direita exista (pode ser finito ou \pm\infty).
  • Aqui o limite é unilateral ( x\to 0^{+}), mas a regra também vale para limites unilaterais se as hipóteses forem satisfeitas ao aproximar por valores à direita de 0.
  • Em palavras simples: quando dá 0/0, podemos derivar cima e baixo e recalcular o limite — com cuidado de garantir que as derivadas existem e g' não zera no intervalo.

Passo 3

Aplicando l’Hôpital ao nosso caso. Tome
f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2},\qquad g(x)=x.
Calcule as derivadas (explico passo a passo):
  • Derivada de f(x)=x^{1/2}. Pela regra de potência, (x^{p})' = p x^{p-1}. Então
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Aqui explicando os símbolos: x^{-1/2} = 1/x^{1/2} e x^{1/2}=\sqrt{x}.
  • Derivada de g(x)=x é
g'(x)=1.
Pela regra de l’Hôpital (as hipóteses estão satisfeitas para x>0), temos
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x}}{x} =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Avaliação do novo limite. Observe que, quando x\to 0^{+}, tem-se \sqrt{x}\to 0^{+}. Então
\frac{1}{2\sqrt{x}}\to +\infty,
porque estamos dividindo a constante 1/2 por um número positivo que tende a zero — o quociente cresce sem limite. Portanto
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x}}{x}=+\infty.

Passo 5

Verificação alternativa por simplificação algébrica (mais direta): escrevendo a expressão como potência,
\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{x^{1/2}}{x}=x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}.
A partir daqui fica imediato que ao aproximar x por 0^{+} obtemos 1/\sqrt{x}\to +\infty. Isso confirma o resultado obtido com l’Hôpital. É bom fazer essa verificação mental na prova: quando der para simplificar, às vezes é mais rápido, mas aplicar l’Hôpital também era correto.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova: o limite é infinito positivo, ou seja, a função cresce sem limite quando x se aproxima de zero pela direita. Em uma prova, basta observar a forma indeterminada 0/0, aplicar l’Hôpital (mostrando as derivadas) ou simplificar para 1/\sqrt{x} e concluir que tende a +\infty. Força aí — esse tipo de limite aparece muito e a estratégia é sempre verificar se dá simplificar ou se vale a l’Hôpital.

Resposta

+\infty

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