Obtenha os limites abaixo, utilizando (sempre que possível) a regra de l’Hôpital:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- O numerador é
, que satisfaz quando . - O denominador é
, que satisfaz quando . - Portanto a expressão tem a forma indeterminada
, o que permite tentar a regra de l’Hôpital (como o enunciado sugere).
Passo 2
Lembrete rápido e didático da regra de l’Hôpital ( versão para
):
- Se
e , e se e são diferenciáveis em um intervalo aberto (exceto possivelmente em ) com perto de , então
desde que o limite à direita exista (pode ser finito ou
).
- Aqui o limite é unilateral (
), mas a regra também vale para limites unilaterais se as hipóteses forem satisfeitas ao aproximar por valores à direita de . - Em palavras simples: quando dá
, podemos derivar cima e baixo e recalcular o limite — com cuidado de garantir que as derivadas existem e não zera no intervalo.
Passo 3
Aplicando l’Hôpital ao nosso caso. Tome
Calcule as derivadas (explico passo a passo):
- Derivada de
. Pela regra de potência, . Então
Aqui explicando os símbolos:
e
.
- Derivada de
é
Pela regra de l’Hôpital (as hipóteses estão satisfeitas para
), temos
Passo 4
Avaliação do novo limite. Observe que, quando
, tem-se
. Então
porque estamos dividindo a constante
por um número positivo que tende a zero — o quociente cresce sem limite. Portanto
Passo 5
Verificação alternativa por simplificação algébrica (mais direta): escrevendo a expressão como potência,
A partir daqui fica imediato que ao aproximar
por
obtemos
. Isso confirma o resultado obtido com l’Hôpital. É bom fazer essa verificação mental na prova: quando der para simplificar, às vezes é mais rápido, mas aplicar l’Hôpital também era correto.
Passo 6
Interpretação final e dica de prova: o limite é infinito positivo, ou seja, a função cresce sem limite quando
se aproxima de zero pela direita. Em uma prova, basta observar a forma indeterminada
, aplicar l’Hôpital (mostrando as derivadas) ou simplificar para
e concluir que tende a
. Força aí — esse tipo de limite aparece muito e a estratégia é sempre verificar se dá simplificar ou se vale a l’Hôpital.