obtenha o maior subconjunto do \mathbb{R}^{2}\) ou \(\mathbb{R}^{3}\), no qual a função é contínua. \(f(x, y)= \begin{cases}e^{\frac{1}{x^{2}+y^{2}-2}} ; & x^{2}+y^{2}<2 \\\\ 0 & x^{2}+y^{2} \geq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} e^{\frac{1}{x^{2}+y^{2}-2}},&x^{2}+y^{2}<2,\\\\ 0,&x^{2}+y^{2}\ge2, \end{cases}
e pede o maior subconjunto de \mathbb{R}^{2} em que f é contínua. O conteúdo aqui é ver continuidade de função definida por partes, prestando atenção ao contorno x^{2}+y^{2}=2.

Passo 2

No interior do disco \Omega_{1}=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<2\}, temos x^{2}+y^{2}-2<0 e nunca zero. A função
(x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}-2,\quad t\mapsto \tfrac1t,\quad u\mapsto e^{u}
são contínuas em seus domínios, e a composição delas é contínua em \Omega_{1}. Logo, f é contínua em todo ponto com x^{2}+y^{2}<2.

Passo 3

No exterior aberto \Omega_{2}=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}>2\}, f(x,y)=0 é constante, logo contínua em \Omega_{2}.

Passo 4

No contorno C=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=2\}, temos f(x,y)=0 por definição. Devemos verificar que
\lim_{(x,y)\to C,\,x^{2}+y^{2}<2}f(x,y)=0.
Se r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to\sqrt{2}^{-}, então \tfrac1{r^{2}-2}\to-\infty e
e^{\frac1{r^{2}-2}}\to0.
Do lado externo, f\equiv0. Como ambos os limites laterais valem 0 e coincidem com f no contorno, f é contínua em cada ponto de C.

Resposta

f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.

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