Obtenha a medida angular em radianos entre a reta
e o plano
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a medida angular, em radianos, entre uma reta
e um plano
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre ângulos entre retas e planos. Vamos precisar identificar os vetores diretores da reta e o vetor normal do plano para calcular esse ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta
. A reta está parametrizada por:
O vetor diretor é o que multiplica o parâmetro
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos identificar o vetor normal do plano
. A equação do plano é dada por:
Os coeficientes de
e
nessa equação nos dão o vetor normal do plano. Então, o vetor normal é
.
Passo 4
Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, precisamos primeiro encontrar o ângulo entre o vetor diretor da reta
e o vetor normal do plano
. Vamos chamar esse ângulo de
. A relação entre esse ângulo
e o ângulo que queremos
é:
ou, em radianos,
Passo 5
Vamos calcular o ângulo
usando o produto escalar entre
e
:
Além disso, precisamos calcular as normas (comprimentos) dos vetores
e
:
Passo 6
Com o produto escalar e as normas, podemos usar a fórmula do cosseno para encontrar
:
Agora, calculamos
:
Passo 7
Finalmente, lembrando que
, substituímos
:
Calculando isso, obtemos a medida angular em radianos entre a reta
e o plano
.
Resposta
A medida angular entre a reta
e o plano
é: