Obtenha a medida angular em radianos entre a reta r e o plano pi :
r: X=(0,0,1)+lambda(-1,1,0), pi: 3 x+4 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a medida angular, em radianos, entre uma reta e um plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre ângulos entre retas e planos. Vamos precisar identificar os vetores diretores da reta e o vetor normal do plano para calcular esse ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta r: X = (0, 0, 1) + lambda(-1, 1, 0) . A reta está parametrizada por:
O vetor diretor é o que multiplica o parâmetro , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor normal do plano pi: 3x + 4y = 0 . A equação do plano é dada por:
Os coeficientes de e nessa equação nos dão o vetor normal do plano. Então, o vetor normal é .

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, precisamos primeiro encontrar o ângulo entre o vetor diretor da reta theta = 90^circ - phi e o vetor normal do plano theta = pi2 - phi . Vamos chamar esse ângulo de . A relação entre esse ângulo e o ângulo que queremos é:
ou, em radianos,

Passo 5

Vamos calcular o ângulo v cdot n = (-1)(3) + (1)(4) + (0)(0) = -3 + 4 + 0 = 1 usando o produto escalar entre ||v|| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2 e ||n|| = raiz3^2 + 4^2 + 0^2 = raiz9 + 16 + 0 = raiz25 = 5 :
Além disso, precisamos calcular as normas (comprimentos) dos vetores e :

Passo 6

Com o produto escalar e as normas, podemos usar a fórmula do cosseno para encontrar cos phi = v cdot n||v|| cdot ||n|| = 1raiz2 cdot 5 = 15raiz2 :
phi = arccos(15raiz2)
Agora, calculamos :

Passo 7

Finalmente, lembrando que theta = pi2 - arccos(15raiz2) , substituímos :
Calculando isso, obtemos a medida angular em radianos entre a reta e o plano .

Resposta

A medida angular entre a reta theta = pi2 - arccos(15raiz2) e o plano é:

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