Vamos usar álgebra linear para resolver esse sistema. Precisamos manipular as equações para encontrar relacionamentos entre as variáveis. Vamos precisar usar substituição e eliminação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar o sistema eliminando algumas variáveis. Observamos que as primeiras duas equações têm coeficientes semelhantes para 2x1 + 6x2 + 4x3 + 6x4 - 14x5 = 28 e (2x1+6x2+x3-2x4+5x5) - (2x1 + 6x2 + 4x3 + 6x4 -14x5) = -2 -28 . Vamos multiplicar a primeira equação por 2 e subtrair da segunda para eliminar -3x3 -8x4 +19x5 = -30 e .
Multiplicando a primeira equação por 2:
Subtraindo da segunda equação:
Simplificando:
Essa é a nossa nova equação, vamos chamá-la de Equação 4.
Passo 3
Agora, vamos eliminar (x1+3x2+2x3+3x4-7x5) - (x1+3x2-x3+2x5) =14 - (-1) e 3x3 + 3x4 -9x5 =15 usando a primeira e a terceira equação. Subtraindo a terceira equação da primeira:
x3 + x4 -3x5 =5
Simplificando:
Podemos dividir tudo por 3 para simplificar:
Essa é a Equação 5.
Passo 4
Vamos agora resolver a Equação 5 para uma das variáveis, digamos x4 =5 -x3 +3x5 :
-3x3 -8(5 -x3 +3x5) +19x5 =-30
Agora, substituímos -3x3 -40 +8x3 -24x5 +19x5 =-30 e 5x3 -5x5 =10 na Equação 4:
x3 -x5 =2 Rightarrow x3=x5+2
Distribuindo:
Simplificando:
Dividindo por 5:
Passo 5
Agora que temos x4 =5 - (x5+2) +3x5 =5 -x5 -2 +3x5 =3 +2x5 em termos de , voltamos à Equação 5 para encontrar :
Passo 6
Vamos agora voltar à terceira equação original para encontrar x1 +3x2 -x3 +2x5 =-1 e x1 +3x2 - (x5 +2) +2x5 =-1 . A terceira equação é:
x1 +3x2 +x5 =1
Substituindo x1 =1 -3x2 -x5 :
Simplificando:
Vamos isolar :
Passo 7
Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de x1 =1 -3x2 -x5 x2 é livre x3 =x5 +2 x4 =3 +2x5 x5 é livre e , que são variáveis livres (podem ser quaisquer valores). Então, a solução geral do sistema é: