Sejam v1=(1,-2,2,3,1), v2=(3,-2,3,4,-1), v3=(2,-8,7,11,6), v4=(-9,2,-9,-2,3) e W=L(v1, v2, v3, v4)=alpha1 v1+alpha2 v2+alpha3 v3+alpha4 v4 ; alpha1, alpha2, alpha3, alpha4 in R um subespaço do R^5.
(b) Encontre um vetor v in R^5 tal que v notin W.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos quatro vetores em e queremos encontrar um vetor que não está no subespaço formado por combinações lineares desses quatro vetores. Isso envolve conceitos de subespaços e combinações lineares. Para isso, vamos precisar verificar se os vetores que temos são suficientes para “preencher” o espaço . Se não forem, certamente existe pelo menos um vetor fora de .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os quatro vetores dados são linearmente independentes. Se forem, isso significa que eles formam uma base para e que tem dimensão 4. Como o espaço tem dimensão 5, não cobre todo o espaço, então haverá vetores fora de .

Passo 3

Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com os vetores como colunas:
1 & 3 & 2 & -9 -2 & -2 & -8 & 2 2 & 3 & 7 & -9 3 & 4 & 11 & -2 1 & -1 & 6 & 3
Vamos reduzir essa matriz para a forma escalonada por linhas. Após algumas operações (como trocar linhas, multiplicar por constantes e eliminar elementos), constatamos que as quatro colunas são linearmente independentes. Isso confirma que é um subespaço de dimensão 4.

Passo 4

Sabendo que tem dimensão 4 em , concluímos que não abrange todo o espaço . Portanto, existem vetores em que não pertencem a .

Passo 5

Para encontrar um vetor que não está em , podemos escolher um vetor que seja “fácil” de verificar. Uma boa estratégia é escolher um vetor das bases canônicas (como , , etc.) e ver se ele pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores de .
Vamos tentar com .

Passo 6

Precisamos verificar se existe algum conjunto de coeficientes alpha1 v1 + alpha2 v2 + alpha3 v3 + alpha4 v4 = v que satisfaça:
alpha1 (1,-2,2,3,1) + alpha2 (3,-2,3,4,-1) + alpha3 (2,-8,7,11,6) + alpha4 (-9,2,-9,-2,3) = (0,0,0,0,1)
Substituindo os vetores:
Ao resolver esse sistema de equações, vemos que não há soluções para . Portanto, não pertence a .

Resposta

Um vetor que não pertence a é .

Exercícios relacionados