Obtenha nabla^2 varphi em coordenadas cilíndricas a partir da forma retangular por substituição direta x=r cos theta e y=r sen theta.

Passo 1

O enunciado pede para expressar o Laplaciano
nabla^2varphi =partial^2varphipartial x^2 +partial^2varphipartial y^2 +partial^2varphipartial z^2
em coordenadas cilíndricas, usando x=rcostheta e y=rsintheta. Vamos aplicar a regra da cadeia para reescrever partial/partial x e partial/partial y em função de partial/partial r e partial/partialtheta.

Passo 2

Pela regra da cadeia,
partialpartial x =partial rpartial x,partialpartial r +partial thetapartial x,partialpartial theta
Como r=raizx^2+y^2 e theta=arctan(y/x), temos
partial rpartial x=costheta, partial thetapartial x=-sinthetar,
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partialpartial x =costheta,partialpartial r -sinthetar,partialpartial theta
Analogamente,
partialpartial y =sintheta,partialpartial r +costhetar,partialpartial theta

Passo 3

Agora calculamos
partial^2partial x^2 +partial^2partial y^2 =l(costheta,partialr-tfracsinthetar,partialthetar)^2 +l(sintheta,partialr+tfraccosthetar,partialthetar)^2
Ao expandir e usar cos^2theta+sin^2theta=1 e
os cancelamentos dos termos cruzados, chega-se a
partial^2partial x^2 +partial^2partial y^2 =partialr^2 + 1r,partialr + 1r^2,partialtheta^2

Passo 4

Somando o termo em z, o Laplaciano em coordenadas cilíndricas fica
nabla^2varphi =underbracepartial^2varphipartial x^2 +partial^2varphipartial y^2=partialr^2varphi + tfrac1rpartialrvarphi + tfrac1r^2partialtheta^2varphi +partial^2varphipartial z^2

Resposta

nabla^2varphi =1rpartialpartial rl(r,partialvarphipartial rr) +1r^2partial^2varphipartial theta^2 +partial^2varphipartial z^2

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