Obtenha a oscilação resultante x(t),
x=cos (2 t)+2 cos (2 t+pi4)+2 cos (2 t-pi4)
(x(t)=3,83 cos (2 t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a oscilação resultante $ x(t) $ da soma de três funções cosseno:
x(t)
Vamos usar conceitos de soma de cossenos com a mesma frequência, utilizando identidades trigonométricas para simplificar e encontrar a amplitude e a fase da oscilação resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que todas as funções têm a mesma frequência angular, $ \omega = 2 $. Isso facilita a soma, pois podemos combinar as amplitudes e fases dos cossenos.
A fórmula geral para a soma de cossenos com a mesma frequência é:
omega = 2
onde:
Acos(omega t) + Bcos(omega t + phi) = Ccos(omega t + theta)
C = raizA^2 + B^2 + 2ABcosphi
Vamos aplicar isso para os termos que têm amplitude diferente.

Passo 3

Vamos somar os dois cossenos que têm amplitude 2:
2cos(2t + pi4) + 2cos(2t - pi4)
Usamos a identidade de soma de cossenos:
cos A + cos B = 2cos(A + B2)cos(A - B2)
Aplicando:
2cos(2t + pi4) + 2cos(2t - pi4) = 4cos(2t)cos(pi4)
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
cos(pi4) = raiz22

Passo 4

Agora, somamos esse resultado com o primeiro termo $ \cos(2t) $:
cos(2t)
Calculando:
cos(2t) + 2raiz2cos(2t) = (1 + 2raiz2)cos(2t)
Arredondando, temos aproximadamente 3.83.

Resposta

A oscilação resultante é:
x(t) = 3,83, cos(2t)

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