Sendo
c) Obtenha os valores de
para o qual a amplitude
atinja o maior valor possível
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que combina duas cossenos com a mesma frequência, mas com uma diferença de fase α. A expressão dada é:
O objetivo é encontrar os valores de α que fazem com que a amplitude $ A $ seja a maior possível. Isso significa que queremos maximizar $ A $.
Passo 2
Para resolver isso, vamos usar uma propriedade da soma de cossenos. Quando somamos dois cossenos com a mesma frequência e amplitude, a amplitude resultante $ A $ depende da diferença de fase entre eles. A fórmula para a soma é:
Aqui, $ A_0 $ é a amplitude de cada cosseno individualmente, que no nosso caso é 10. Então, substituímos:
Passo 3
Agora, queremos que $ A $ seja o maior possível. A função cosseno atinge seu valor máximo quando o seu argumento é 0, ou seja, quando:
Isso ocorre quando:
Passo 4
Resolvendo para α:
No entanto, na trigonometria, $ 4n\pi $ é equivalente a $ 2n\pi $ porque $ n $ pode ser qualquer inteiro positivo ou negativo. Portanto, podemos simplificar a solução para:
Resposta
Os valores de $ \alpha $ que fazem a amplitude $ A $ ser máxima são $ \alpha = 2n\pi $, onde $ n $ é qualquer inteiro.