Sendo
x(t) & =10 cos (pi t)+10 cos (pi t+alpha) & =A cos (pi t+phi)
c) Obtenha os valores de alpha para o qual a amplitude A atinja o maior valor possível (alpha=2 n pi).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que combina duas cossenos com a mesma frequência, mas com uma diferença de fase α. A expressão dada é:
x(t) = 10 cos (pi t) + 10 cos (pi t + alpha) = A cos (pi t + phi)
O objetivo é encontrar os valores de α que fazem com que a amplitude $ A $ seja a maior possível. Isso significa que queremos maximizar $ A $.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar uma propriedade da soma de cossenos. Quando somamos dois cossenos com a mesma frequência e amplitude, a amplitude resultante $ A $ depende da diferença de fase entre eles. A fórmula para a soma é:
A
Aqui, $ A_0 $ é a amplitude de cada cosseno individualmente, que no nosso caso é 10. Então, substituímos:
A = 2 cdot A0 cdot cos(alpha2)

Passo 3

Agora, queremos que $ A $ seja o maior possível. A função cosseno atinge seu valor máximo quando o seu argumento é 0, ou seja, quando:
A
Isso ocorre quando:
cos(alpha2) = 1 é

Passo 4

Resolvendo para α:
alpha = 4npi
No entanto, na trigonometria, $ 4n\pi $ é equivalente a $ 2n\pi $ porque $ n $ pode ser qualquer inteiro positivo ou negativo. Portanto, podemos simplificar a solução para:
4npi

Resposta

Os valores de $ \alpha $ que fazem a amplitude $ A $ ser máxima são $ \alpha = 2n\pi $, onde $ n $ é qualquer inteiro.

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