Uma barra fina não condutora, com uma distribuição uniforme de carga positiva, lambda=3,5 times 10^-9 C / m, tem a forma de uma circunferência de raio R= 20 cm . O eixo do anel é o eixo x, com a origem no centro do anel. Determine o módulo do campo elétrico (em N/C) no ponto P, localizado no eixo x a uma distância d=50 cm do centro do anel. Insira a resposta com uma casa decimal e sem a unidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico gerado por uma distribuição de carga. A gente precisa usar conceitos de eletrostática, especificamente como calcular o campo elétrico no eixo de um anel carregado. Vamos precisar das fórmulas que determinam o campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
  • Densidade linear de carga,
  • Raio do anel,
  • Distância do ponto P ao centro do anel,

Passo 3

Sabemos que o campo elétrico no eixo de um anel de carga uniforme pode ser calculado pela fórmula:
E = 14pi varepsilon0 cdot Q cdot d(d^2 + R^2)^3/2
onde:
  • é o campo elétrico,
  • é a carga total do anel,
  • é a distância do ponto ao centro do anel,
  • é o raio do anel,
  • é a permissividade do vácuo ( ).

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a carga total Q = lambda cdot 2pi R no anel. Como a carga está distribuída de forma uniforme ao longo do comprimento do anel, temos:
Q = 3,5 times 10^-9 , C/m times 2pi times 0,2 , m
Substituindo os valores:

Passo 5

Calculando Q = 3,5 times 10^-9 times 2 times 3,1416 times 0,2 approx 4,398 times 10^-9 , C :

Passo 6

Agora, vamos substituir E = 14pi times 8,854 times 10^-12 cdot 4,398 times 10^-9 times 0,5(0,5^2 + 0,2^2)^3/2 , e na fórmula do campo elétrico:

Passo 7

Calculando o denominador dentro da raiz:
0,5^2 + 0,2^2 = 0,25 + 0,04 = 0,29
Então:
(0,29)^3/2 approx 0,29^1,5 approx 0,157

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
E = 14pi times 8,854 times 10^-12 cdot 4,398 times 10^-9 times 0,50,157
Calculando o numerador:
4,398 times 10^-9 times 0,5 = 2,199 times 10^-9

Passo 9

Agora, dividindo pelo denominador:
2,199 times 10^-90,157 approx 1,403 times 10^-8

Passo 10

Finalmente, multiplicando pelos constantes:
E = 14pi times 8,854 times 10^-12 times 1,403 times 10^-8
4pi times 8,854 times 10^-12 approx 1,112 times 10^-10
E = 1,403 times 10^-81,112 times 10^-10 approx 126,2

Resposta

126,2

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