Obtenha um polinômio de coeficientes inteiros que admita sen 10^{\circ} como raiz. Determine as outras raízes e prove que sen 10^{\circ} não pode ser escrito na forma p / q, onde p e q são inteiros, ou seja, é um número irracional. Sugestão: Use o Exercício 26.

Passo 1

O enunciado pede um polinômio de coeficientes inteiros que tenha \sin10^\circ como raiz, além de determinar as outras raízes e mostrar que \sin10^\circ é irracional. Vamos usar a fórmula do triplo ângulo para o seno (Exercício 26):
\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta,
e o fato de que \sin30^\circ=\tfrac12.

Passo 2

Tomando \theta=10^\circ, a fórmula do triplo ângulo dá
\sin30^\circ=3\sin10^\circ-4\sin^3 10^\circ.
Como \sin30^\circ=\tfrac12, segue
\tfrac12=3s-4s^3,
onde s=\sin10^\circ. Multiplicando por 2,
1=6s-8s^3 \quad\Longrightarrow\quad 8s^3-6s+1=0.
Assim um polinômio com coeficientes inteiros que anula \sin10^\circ é
f(x)=8x^3-6x+1.

Passo 3

Para achar as outras raízes, note que s=\sin10^\circ satisfaz \sin(3\theta)=\tfrac12. As soluções gerais de \sin\alpha=\tfrac12 são
\alpha=30^\circ+360^\circ k \quad\text{ou}\quad \alpha=150^\circ+360^\circ k.
Logo, em 3\theta=\alpha obtemos as soluções
\theta=10^\circ+120^\circ k \quad\text{ou}\quad \theta=50^\circ+120^\circ k.
Mod 360^\circ, há três valores distintos de \theta cujos senos são raízes de f:
\sin10^\circ,\quad \sin(10^\circ+120^\circ)=\sin130^\circ=\sin50^\circ, \quad \sin(50^\circ+120^\circ)=\sin170^\circ=-\sin10^\circ,
ou, mais convenientemente,
\sin10^\circ,\quad \sin50^\circ,\quad\text{e}\quad -\sin70^\circ
(já que \sin170^\circ=\sin(180^\circ-10^\circ)=\sin10^\circ e \sin250^\circ=-\sin70^\circ, mas 170^\circ dá a mesma raiz de 10^\circ).

Passo 4

Para provar que \sin10^\circ é irracional, aplicamos o teste de raízes racionais em f(x)=8x^3-6x+1. Se \tfrac pq (com \gcd(p,q)=1) fosse raiz, então p\mid1 e q\mid8. Os candidatos racionais são
\pm1,\\ \pm\tfrac12,\\ \pm\tfrac14,\\ \pm\tfrac18.
Nenhum desses valores equivale ao valor aproximado \sin10^\circ\approx0{,}1736. Portanto \sin10^\circ não é racional.

Resposta

O polinômio de coeficientes inteiros é
8x^3-6x+1=0,
suas raízes são
\sin10^\circ,\quad \sin50^\circ,\quad -\sin70^\circ,
e pelo teste de raízes racionais concluímos que \sin10^\circ é irracional.

Exercícios relacionados