Prove as identidades:
\quad \operatorname{sen} x \cdot \cos y=\frac{1}{2}[\operatorname{sen}(x+y)+\operatorname{sen}(x-y)]

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula de transformação de produto de funções trigonométricas em soma, conhecida como “fórmula produto-soma”. Vamos usar as fórmulas de adição e subtração de seno.

Passo 2

Recordando as fórmulas de soma e diferença de arcos para o seno:
\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y
\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y

Passo 3

Somando as duas expressões acima, obtemos
\sin(x+y)+\sin(x-y) =(\sin x\cos y+\cos x\sin y) +(\sin x\cos y-\cos x\sin y) =2\,\sin x\cos y.

Passo 4

Bastando agora isolar o produto \sin x\cos y. Dividindo ambos os lados por 2, vem
\sin x\cos y =\frac{1}{2}\bigl[\sin(x+y)+\sin(x-y)\bigr].

Resposta

\displaystyle \sin x\cos y=\frac12\bigl[\sin(x+y)+\sin(x-y)\bigr]

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