Obtenha o polinômio de Taylor de grau n da função f em torno do ponto a, para os valores de n e a indicados:
f(x)=cos (x), a=pi4, n=4.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau n=4 para a função f(x)=cos(x) em torno de a=tfracpi4. Vamos usar a fórmula geral de Taylor:
Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(a)k!(x-a)^k

Passo 2

Calculemos as derivadas de f(x)=cos(x) até a ordem 4:
f(x)=cos(x), f'(x)=-sin(x), f''(x)=-cos(x), f'''(x)=sin(x), f^(4)(x)=cos(x)

Passo 3

Avalie cada derivada em a=tfracpi4. Como
cosl(tfracpi4r)=tfracraiz22 e
sinl(tfracpi4r)=tfracraiz22, temos
f(a)=raiz22, f'(a)=-raiz22, f''(a)=-raiz22, f'''(a)=raiz22, f^(4)(a)=raiz22

Passo 4

Substituímos esses valores na fórmula de Taylor até k=4:
T4(x) =underbraceraiz22k=0 +underbracel(-raiz22r)k=1(x-tfracpi4) +underbracel(-raiz22r)(x-tfracpi4)^22!k=2 +underbraceraiz22,(x-tfracpi4)^33!k=3 +underbraceraiz22,(x-tfracpi4)^44!k=4
Podemos simplificar os fatoriais:
T4(x) =raiz22 -raiz22(x-tfracpi4) -raiz24(x-tfracpi4)^2 +raiz212(x-tfracpi4)^3 +raiz248(x-tfracpi4)^4

Resposta

T4(x) =raiz22 -raiz22l(x-tfracpi4r) -raiz24l(x-tfracpi4r)^2 +raiz212l(x-tfracpi4r)^3 +raiz248l(x-tfracpi4r)^4

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