Obtenha os pontos de máximo ou de mínimo (quando existirem) das funções abaixo
a) f(x)=x^2-4 x+5
b) f(x)=6 x-x^2
c) f(x)=x^33-72 x^2+6 x+5
d) f(x)=-x^33+4 x+6
e) f(x)=x+1x
f) f(x)=x cdot raizx+2

Passo 1

O enunciado pede os pontos de máximo ou mínimo das funções dadas. O conteúdo é otimização via derivada: a ideia é achar onde f’(x)=0 (pontos críticos) e usar f’’(x) para decidir se cada ponto é máximo (f’’<0) ou mínimo (f’’>0).
O método geral é: 1) calcular a derivada f’(x); 2) resolver f’(x)=0 para obter pontos críticos; 3) calcular f’’(x) e testar cada ponto crítico: se f’’(x)>0 é mínimo, se f’’(x)<0 é máximo; 4) avaliar f nesses pontos para obter as coordenadas.

Passo 2

Para as funções quadráticas (a) e (b), o processo é rápido pois f’ é linear e f’’ é constante: para a) f(x)=x^2-4x+5 temos f’(x)=2x-4=0 ⇒ x=2, e f’’(x)=2>0, logo mínimo em x=2 com f(2)=1. Para b) f(x)=6x-x^2 temos f’(x)=6-2x=0 ⇒ x=3, e f’’(x)=-2<0, logo máximo em x=3 com f(3)=9.

Passo 3

Para as funções cúbicas © e (d), f’ é uma quadrática: c) f(x)=x3/3-7x2/2+6x+5 dá f’(x)=x^2-7x+6=(x-1)(x-6), logo x=1 e x=6. Como f’’(x)=2x-7, em x=1 temos f’’(1)=-5<0 (máximo) e em x=6 temos f’’(6)=5>0 (mínimo). Avaliando f(1)=47/6 e f(6)=-13. d) f(x)=-x^3/3+4x+6 dá f’(x)=-x^2+4=-(x-2)(x+2), logo x=±2. Como f’’(x)=-2x, em x=2 temos f’’(2)=-4<0 (máximo) com f(2)=34/3 e em x=-2 f’’(-2)=4>0 (mínimo) com f(-2)=2/3.

Passo 4

Para a função racional (e) f(x)=x+1/x, o domínio é x≠0. Calculamos f’(x)=1-1/x2=(x2-1)/x^2, que zera em x=±1. A segunda derivada é f’’(x)=2/x^3, logo em x=1 f’’(1)=2>0 (mínimo em f(1)=2) e em x=-1 f’’(-1)=-2<0 (máximo em f(-1)=-2).

Passo 5

Para f) f(x)=x√(x+2) o domínio é x≥-2. Usamos f’(x)=(3x+4)/(2√(x+2)), que zera em x=-4/3. A segunda derivada f’’(x)=(3x+8)/(4(x+2)^{3/2}) é positiva em x=-4/3, indicando mínimo local em x=-4/3 com f(-4/3)=-4√6/9. Não há ponto de máximo local.

Passo 6

Esses são os pontos de máximo e mínimo para cada função.

Resposta

a) mínimo em (2,1) b) máximo em (3,9) c) máximo em (1,\frac{47}{6}), mínimo em (6,-13) d) máximo em (2,\frac{34}{3}), mínimo em (-2,\frac{2}{3}) e) mínimo em (1,2), máximo em (-1,-2) f) mínimo em (-\frac{4}{3},-\frac{4\sqrt{6}}{9}), sem máximo local

Exercícios relacionados